f1 = x1**2 - 2*x1*x2 + 2*x2**2 - 2*x2
f2 = x**2 + 2*x
f1(2, 2) = 0
f2(2) = 8
                    我们如何利用Python写出符号表达式（函数表达式）呢？如何求函数值呢？如何求导数或偏导数呢？如何求函数的零点、方程的根呢？比如：from sympy import *x1, x2= symbols('x1, x2')  # 声明符号变量，否则会认为没有定义def func1():    # 自定义一个函数，前提：声明变量    return pow(x1, 2) + 2 * p...
SymPad 是一个简单的单脚本图形符号计算器/便笺簿，使用 SymPy 进行数学运算，使用 MathJax 在浏览器中显示，使用 matplotlib 进行绘图。 用户输入旨在快速、简单和直观，并在输入时以符号形式显示。 Sympad 将接受 Python 表达式、LaTeX 格式、unicode 数学符号和用于快速输入的本机速记，或所有这些的混合。 输入将以符号或数字方式评估，结果以 Python 或 LaTeX 格式复制/粘贴，因此它也充当翻译器。
 以下是 SymPad 的有效输入示例： 
 cos -pi
N cos**-1 -\log_2 sqrt[4] 16
\lim_{x\to\infty} 1/x
\sum_{n=0}**oo x^n / n!
d**6 / dx dy**2 dz**3 x^3 y^3 z^3
\int_0^\pi \int_0^{2pi} \i
简单介绍下python的几个自动求导工具，tangent、autograd、sympy；
在各种机器学习、深度学习框架中都包含了自动微分，微分主要有这么四种：手动微分法、数值微分法、符号微分法、自动微分法，这里分别简单走马观花（hello world式）的介绍下下面几种微分框架；
sympy 强大的科学计算库，使用的是符号微分，通过生成符号表达式进行求导；求得的导数不一定为最简的，当函数较为复杂时所生成的表达式树异常复杂；
autograd自动微分先将符号微分用于基本的算子，带入数值并保存中间结果，后应用于整个函数；自动微分本质上就是图计算，容易做很多优化所以广泛应用于各种机器学习深度
 所有SymPy浮点数都将成为可训练的输入参数。 SymPy符号成为传递矩阵的列。
pip install git+https://github.com/MilesCranmer/sympy2jax.git
import sympy
from sympy import symbols
import jax
import jax . numpy as jnp
from jax import random
from sympy2jax import sympy2jax
 让我们在SymPy中创建一个表达式：
 x , y = symbols ( 'x y' )
expression = 1.0 * sympy . cos ( x ) + 3.2 * y
 让我们获取JAX版本。 我们传递方程式和所
 所有SymPy浮点数都成为可训练的参数。 所有SymPy符号都是模块的输入。
pip install git+https://github.com/patrick-kidger/sympytorch.git
import sympy , torch , sympytorch
x = sympy . symbols ( 'x_name' )
cosx = 1.0 * sympy . cos ( x )
sinx = 2.0 * sympy . sin ( x )
mod = sympytorch . SymPyModule ( expressions = [ cosx , sinx ])
x_ = torch . rand ( 3 )
out = mod ( x_name = x_ )  # out has 
sympy是一个Python的科学计算库，用一套强大的符号计算体系完成诸如多项式求值、求极限、解方程、求积分、微分方程、级数展开、矩阵运算等等计算问题。
常用的sympy内置符号
虚数单位i
In [13]: import sympy
In [14]: sympy.I
Out[14]: I
In [15]: sympy.I ** 2
Out[15]: -1
#求-1的平方根
In [16]: sympy.sqrt(-1)
Out[16]: I
注；后面省略import sympy
自然对数的底
提示，最好不要使用此库，例如，在这方面更好的方法是站点WolframAlpha （  ）或库SymPy （  ）。
主要定义：
 符号-区分所需的类别； 该类的实例定义用于区分的符号。 例子：
 x = Symbol('x')
表达-区分所需的类别； 此类的实例定义用于区分的符号表达式。 例子：
 expression = [removed]'3*sin(x)+cos(x)')
如何使用图书馆：
 x = Symbol('x')
expr = [removed]'3*sin(x)+cos(x)')
expr_diff = SymbolicDifferentiation.diff(expr, x))  # 3*cos(x)-sin(x)
expr_diff = SymbolicDifferentiation.diff(expr, x, order=3))  # 3*(-1)
				
optlang
 基于Sympy的数学编程语言
 Optlang是一个Python软件包，用于解决数学优化问题，即在受多个约束的一组变量上最大化或最小化目标函数。 Optlang为一系列优化工具提供了一个通用界面，因此可以以透明的方式更改不同的求解器后端。 Optlang的面向对象的API利用符号数学库优势，可以轻松地从变量的符号表达式中制定目标函数和约束（请参见示例）。
 如果您发现optlang有用，请凝视此仓库来向我们展示一些爱！
 另外，如果您有关于optlang的问题或疑问，请使用GitHub告知我们有关错误或功能的要求，或者通过我们的告知我们。
使用pip安装
pip install optlang
这还将安装swiglpk ，这是开源（混合整数）LP解算器GLPK的接口。 通过其他可选求解器（参见下文）支持二次编程（和MIQP）。
需要以下依赖项。
				
第 1 章 软件包的安装和介绍....................1
1.1 Python 简介......................................1
1.2 安装软件包......................................2
1.2.1 Python(x,y)..................................... 2
1.2.2 Enthought Python Distribution
(EPD)............................................. 3
1.3 方便的开发工具..............................3
1.3.1 IPython........................................... 4
1.3.2 Spyder............................................ 8
1.3.3 Wing IDE 101..............................12
1.4 函数库介绍....................................13
1.4.1 数值计算库.................................13
1.4.2 符号计算库.................................14
1.4.3 界面设计.....................................14
1.4.4 绘图与可视化 .............................14
1.4.5 图像处理和计算机视觉..............15
第 2 章 NumPy——快速处理数据.......... 16
2.1 ndarray 对象...................................16
2.1.1 创建数组.....................................16
2.1.2 存取元素.....................................21
2.1.3 多维数组.....................................24
2.1.4 结构数组.....................................29
2.1.5 内存结构.....................................32
2.2 ufunc 运算......................................35
2.2.1 四则运算.....................................37
2.2.2 比较和布尔运算 .........................39
2.2.3 自定义 ufunc 函数 ......................40
2.2.4 广播.............................................42
2.2.5 ufunc 函数的方法.......................46
2.3 多维数组的下标存取....................48
2.3.1 下标对象.....................................48
2.3.2 整数数组作为下标.....................49
2.3.3 一个复杂的例子.........................51
2.3.4 布尔数组作为下标.....................53
2.4 庞大的函数库 ............................... 54
2.4.1 求和、平均值、方差.................54
2.4.2 最值和排序.................................55
2.4.3 多项式函数.................................57
2.4.4 分段函数.....................................60
2.4.5 统计函数.....................................62
2.5 线性代数 ....................................... 65
2.5.1 各种乘积运算.............................65
2.5.2 解线性方程组.............................67
2.6 掩码数组 ....................................... 69
2.7 文件存取 ....................................... 72
2.8 内存映射数组 ............................... 75
第 3 章 SciPy——数值计算库.................79
3.1 常数和特殊函数 ........................... 79
3.2 优化——optimize .......................... 81
3.2.1 最小二乘拟合.............................81
3.2.2 函数最小值.................................84
3.2.3 非线性方程组求解.....................86
3.3 插值——interpolate ....................... 88
3.3.1 B 样条曲线插值..........................88
3.3.2 外推和 Spline 拟合.....................90
3.3.3 二维插值.....................................91
3.4 数值积分——integrate .................. 93
3.4.1 球的体积.....................................93
3.4.2 解常微分方程组.........................95
3.5 信号处理——signal....................... 97
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Python 科学计算
3.5.1 中值滤波.....................................97
3.5.2 滤波器设计.................................98
3.6 图像处理——ndimage .................100
3.6.1 膨胀和腐蚀...............................101
3.6.2 Hit 和 Miss.................................102
3.7 统计——stats................................105
3.7.1 连续和离散概率分布................105
3.7.2 二项、泊松、伽玛分布............108
3.8 嵌入 C 语言程序——weave ........112
第 4 章 SymPy——符号运算好帮手 .... 115
4.1 从例子开始..................................115
4.1.1 封面上的经典公式....................115
4.1.2 球体体积...................................117
4.2 数学表达式..................................119
4.2.1 符号...........................................119
4.2.2 数值...........................................121
4.2.3 运算符和函数 ...........................122
4.3 符号运算......................................125
4.3.1 表达式变换和化简....................125
4.3.2 方程...........................................128
4.3.3 微分...........................................129
4.3.4 微分方程...................................130
4.3.5 积分...........................................131
4.4 其他功能......................................133
4.4.1 平面几何...................................133
4.4.2 绘图...........................................135
第 5 章 matplotlib——绘制精美
的图表..................................... 139
5.1 快速绘图......................................139
5.1.1 使用 pyplot 模块绘图...............139
5.1.2 以面向对象方式绘图................142
5.1.3 配置属性...................................143
5.1.4 绘制多个子图 ...........................145
5.1.5 配置文件...................................147
5.1.6 在图表中显示中文....................149
5.2 Artist 对象 ................................... 152
5.2.1 Artist 对象的属性.....................154
5.2.2 Figure 容器................................155
5.2.3 Axes 容器..................................156
5.2.4 Axis 容器...................................159
5.2.5 Artist 对象的关系.....................163
5.3 坐标变换和注释 ......................... 164
5.3.1 4 种坐标系................................167
5.3.2 坐标变换的步骤.......................169
5.3.3 制作阴影效果...........................173
5.3.4 添加注释...................................174
5.4 绘图函数简介 ............................. 177
5.4.1 对数坐标图...............................177
5.4.2 极坐标图...................................178
5.4.3 柱状图.......................................179
5.4.4 散列图.......................................180
5.4.5 图像...........................................181
5.4.6 等值线图...................................184
5.4.7 三维绘图...................................187
第 6 章 Traits——为 Python 添加类型
定义.........................................190
6.1 开发背景 ..................................... 190
6.2 Trait 属性的功能......................... 192
6.3 Trait 类型对象............................. 196
6.4 Trait 的元数据............................. 198
6.5 预定义的 Trait 类型.................... 200
6.6 Property 属性............................... 204
6.7 Trait 属性监听............................. 206
6.8 Event 和 Button 属性.................. 210
6.9 Trait 属性的从属关系................. 211
6.10 动态添加 Trait 属性.................. 213
6.11 创建自己的 Trait 类型.............. 215
6.11.1 从 TraitType 继承.................215
6.11.2 使用 Trait()............................217
6.11.3 定义 TraitHandler 类.............219
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第 7 章 TraitsUI——轻松制作用户
界面......................................... 221
7.1 默认界面......................................221
7.2 用 View 定义界面........................222
7.2.1 外部视图和内部视图................222
7.2.2 多模型视图...............................226
7.2.3 Group 对象................................228
7.2.4 配置视图...................................231
7.3 用 Handler 控制界面和模型 .......232
7.3.1 用 Handler 处理事件.................233
7.3.2 Controller 和 UIInfo 对象..........237
7.3.3 响应 Trait 属性的事件..............238
7.4 属性编辑器..................................240
7.4.1 编辑器演示程序 .......................241
7.4.2 对象编辑器...............................243
7.4.3 字符串列表编辑器....................248
7.4.4 对象列表编辑器 .......................250
7.5 菜单、工具条和状态栏..............252
7.6 设计自己的编辑器......................255
7.6.1 Trait 编辑器的工作原理...........255
7.6.2 制作 matplotlib 的编辑器.........259
7.6.3 CSV 数据绘图工具...................262
第 8 章 Chaco——交互式图表............. 264
8.1 面向脚本绘图..............................264
8.2 面向应用绘图..............................265
8.2.1 多条曲线...................................267
8.2.2 Plot 对象的结构........................271
8.2.3 编辑绘图属性 ...........................275
8.2.4 容器(Container).........................276
8.3 添加交互工具..............................279
8.3.1 平移和缩放...............................279
8.3.2 选取范围...................................282
8.3.3 选取数据点...............................284
8.3.4 套索工具...................................287
8.4 二次开发......................................289
8.4.1 用 Kiva 库在数组上绘图..........290
8.4.2 Enable 库的组件.......................292
8.4.3 设计圆形选择工具...................297
8.4.4 制作动画演示...........................301
第 9 章 TVTK——数据的三维可视化....303
9.1 流水线(Pipeline).......................... 304
9.1.1 显示圆锥...................................304
9.1.2 用 ivtk 观察流水线...................307
9.2 数据集(Dataset)........................... 313
9.2.1 ImageData..................................313
9.2.2 RectilinearGrid...........................318
9.2.3 StructuredGrid............................319
9.2.4 PolyData ....................................321
9.3 可视化实例 ................................. 324
9.3.1 切面...........................................325
9.3.2 等值面.......................................330
9.3.3 流线...........................................333
9.4 TVTK 的改进.............................. 337
9.4.1 TVTK 的基本用法....................338
9.4.2 Trait 属性...................................339
9.4.3 序列化(Pickling)........................339
9.4.4 集合迭代...................................340
9.4.5 数组操作...................................341
第 10 章 Mayavi——更方便的可视化....343
10.1 用 mlab 快速绘图 ..................... 343
10.1.1 点和线...................................343
10.1.2 Mayavi 的流水线..................345
10.1.3 二维图像的可视化...............348
10.1.4 网格面...................................352
10.1.5 修改和控制流水线...............356
10.1.6 标量场...................................358
10.1.7 矢量场...................................361
10.2 Mayavi 和 TVTK 之间
的关系....................................... 363
10.2.1 显示 TVTK 流水线..............363
10.2.2 两条流水线之间的关系.......365
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Python 科学计算
10.3 Mayavi 应用程序.......................367
10.3.1 操作流水线...........................368
10.3.2 命令行和对象浏览器...........371
10.4 将 Mayavi 嵌入到界面中..........374
第 11 章 VPython——制作 3D 演示
动画 ...................................... 378
11.1 场景、物体和照相机................378
11.1.1 控制场景窗口.......................380
11.1.2 控制照相机...........................383
11.1.3 模型的属性...........................384
11.1.4 三维模型...............................387
11.2 制作动画演示............................390
11.2.1 简单动画...............................390
11.2.2 盒子中反弹的球...................391
11.3 与场景交互................................393
11.3.1 响应键盘事件.......................394
11.3.2 响应鼠标事件.......................394
11.4 用界面控制场景........................397
11.5 创建复杂模型............................400
11.5.1 faces()的用法........................400
11.5.2 读入模型数据.......................402
第 12 章 OpenCV——图像处理和计算机
视觉 ...................................... 408
12.1 存储图像数据的 Mat 对象........409
12.1.1 Mat 对象和 NumPy 数组.....410
12.1.2 像素点类型...........................414
12.1.3 其他数据类型.......................415
12.1.4 Vector 类型...........................417
12.1.5 在图像上绘图.......................418
12.2 图像处理....................................421
12.2.1 二维卷积...............................421
12.2.2 形态学运算...........................424
12.2.3 填充——floodFill..................426
12.2.4 去瑕疵——inpaint.................427
12.3 图像变换....................................428
12.3.1 几何变换...............................428
12.3.2 重映射——remap..................430
12.3.3 直方图统计...........................433
12.3.4 二维离散傅立叶变换...........437
12.4 图像识别 ................................... 440
12.4.1 用霍夫变换检测直线
和圆.......................................440
12.4.2 图像分割...............................444
12.4.3 用 SURF 进行特征匹配.......450
第 13 章 数据和文件 ............................453
13.1 声音的输入输出 ....................... 453
13.1.1 读写 WAV 文件...................453
13.1.2 用 pyAudio 播放和录音.......456
13.2 视频的输入输出 ....................... 459
13.2.1 读写视频文件.......................459
13.2.2 安装视频编码.......................464
13.3 读写 HDF5 文件....................... 465
13.4 读写 Excel 文件 ........................ 469
13.4.1 写 Excel 文件........................469
13.4.2 读 Excel 文件........................471
第 14 章 数字信号系统.........................473
14.1 FIR 和 IIR 滤波器..................... 473
14.2 FIR 滤波器设计........................ 477
14.2.1 用 firwin()设计滤波器..........479
14.2.2 用 remez()设计滤波器..........481
14.2.3 滤波器的级联.......................483
14.3 IIR 滤波器设计......................... 485
14.3.1 巴特沃斯低通滤波器...........485
14.3.2 双线性变换...........................487
14.3.3 滤波器的频带转换...............490
14.4 数字滤波器的频率响应 ........... 494
14.5 二次均衡滤波器设计工具 ....... 497
14.6 零相位滤波器 ........................... 500
14.7 重取样 ....................................... 501
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第 15 章 频域信号处理........................ 505
15.1 FFT 演示程序............................505
15.1.1 FFT 知识复习.......................505
15.1.2 合成时域信号.......................509
15.1.3 三角波 FFT 演示程序..........511
15.2 观察信号的频谱........................512
15.2.1 窗函数...................................515
15.2.2 频谱平均...............................517
15.2.3 谱图.......................................519
15.3 卷积运算....................................522
15.3.1 快速卷积...............................522
15.3.2 分段运算...............................524
15.4 信号处理....................................526
15.4.1 基本框架...............................527
15.4.2 频域滤波器...........................528
15.4.3 频率变调处理.......................530
15.4.4 用谱图差减法降噪...............531
15.5 Hilbert 变换................................532
第 16 章 用 C 语言提高计算效率......... 537
16.1 用 ctypes 调用 DLL 库..............537
16.2 用 Weave 嵌入 C++程序...........541
16.2.1 Weave 的工作原理...............541
16.2.2 处理 NumPy 数组.................543
16.2.3 使用 blitz()提速.....................546
16.2.4 扩展模块...............................548
16.3 用 Cython 将 Python 编译
成 C............................................549
16.3.1 编译 Cython 程序.................549
16.3.2 提高计算效率.......................550
16.3.3 快速访问 NumPy 数组.........553
16.4 用 SWIG 创建扩展模块............555
16.4.1 SWIG 的调用方法
和实例 ..................................555
16.4.2 SWIG 基础............................558
16.4.3 SWIG 处理 NumPy 数组......566
第 17 章 自适应滤波器.........................571
17.1 自适应滤波器简介 ................... 571
17.1.1 系统识别...............................571
17.1.2 信号预测...............................572
17.1.3 信号均衡...............................572
17.2 NLMS 计算公式....................... 573
17.3 用 NumPy 实现 NLMS 算法.... 575
17.3.1 系统辨识模拟.......................577
17.3.2 信号均衡模拟.......................579
17.3.3 卷积逆运算...........................581
17.4 用 C 语言加速 NLMS 运算...... 583
17.4.1 用 SWIG 编写扩展模块.......583
17.4.2 用 Weave 嵌入 C++程序......586
第 18 章 单摆和双摆模拟.....................588
18.1 单摆模拟 ................................... 588
18.1.1 小角度时的摆动周期...........589
18.1.2 大角度时的摆动周期...........590
18.2 双摆模拟 ................................... 592
18.2.1 公式推导...............................592
18.2.2 微分方程的数值解...............595
18.2.3 动画演示...............................598
第 19 章 分形几何................................599
19.1 Mandelbrot 集合........................ 599
19.1.1 使用 NumPy 加速计算.........601
19.1.2 使用 Weave 加速计算..........603
19.1.3 连续的逃逸时间...................604
19.1.4 Mandelbrot 演示程序 ...........605
19.2 迭代函数系统(IFS)................... 606
19.2.1 二维仿射变换.......................610
19.2.2 迭代函数系统设计器...........610
19.3 L-System 分形........................... 613
19.4 分形山脉 ................................... 616
19.4.1 一维中点移位法...................616
19.4.2 二维中点移位法...................618
19.4.3 菱形方形算法.......................619




    

				
可以使用Python中的数学库，例如numpy和sympy，来写数学表达式。使用numpy可以进行数值计算，而sympy可以进行符号计算。以下是一个使用sympy库的例子：
```python
import sympy
x = sympy.Symbol('x')
expr = x**2 + 2*x + 1
print(expr)
这段代码会输出表达式x^2 + 2x + 1。
				Python读文件：UnicodeDecodeError: 'utf-8' codec can't decode byte 0xff in position 0: invalid start byte
					29232
                Python读文件：UnicodeDecodeError: 'utf-8' codec can't decode byte 0xff in position 0: invalid start byte
                    今天也有好好学习哦: 
                    你好还是没解决
                Python梯度法——最速下降法
                    studyhardtoday: 
                    这是求最大值吗
                （三）利用Wikipedia中文语料训练词向量word2vec——word2vec模型测试
                    weixin_42173081: 
                    运行之后为何会显示：
AttributeError: 'NoneType' object has no attribute 'most_similar'
                Python求解线性方程组
                    西西弗游世界: 
                    请问要怎么解决
                Python求解线性方程组
                    西西弗游世界: 
                    大佬，我会出现object arrays are not supported