LaTeX常用篇(二)---上下标/分式/根式/求和/连乘/极限/积分/希腊字母

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1. 序言

之前总结了一下latex的公式输入。但是俗话说得好，巧妇难为无米之炊。如果想要输入复杂的数学公式，光知道公式输入的方式是远远不够的，我们还需要了解公式中常用的组成部分。

2. 上下标

数学公式中的字母经常是带上标（幂/转置/导数等）和下标（矩阵元素位置/参数个数等）的，而用latex解决这个问题十分简单。可以使用 ^ 表示上标，使用 _ 表示下标。当然要值得注意的是，当上下标的有多个（2个及以上）字符时，要用 {} 括起来。

<!--来直接看几个例子-->
$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2$$
$$a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0$$
显示效果：
\[Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2
\]
\[a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0
tip1：有时我们想使用的标记在字母的正上方，例如\(\bar X\)。这种无法直接用上下标来表示，需要使用其他的方法。
tip2：在这里列举一些常用的用法：
\(\bar X\)(X拔)的表示方法是：$\bar X$，这个通常是用来表示变量的均值
\(\hat Y\)(Y帽)的表示方法是：$\hat Y$，这个通常是用来表示变量的预测值
\(\underline X\)的表示方式是：$\underline X$，可以用来表示下限
还有其他像\(\widetilde X\)的表示方式是：$\widetilde X$
tip3：例子中使用了一些希腊字母，可以直接跳转到下面进行查看常用的希腊字母
3. 分式
  直接使用\frac{}{}来表示分式，其中第一个{}表示分子，第二个{}表示分母
$$f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}$$
显示效果：
\[f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}
\]
4. 根式
  直接使用sqrt[]{}来表示分式，其中[]用来放开方的次数，{}用来放要被开方的公式
$$f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}$$
显示效果：
\[f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}
\]
5. 求和和连乘
  对于连加的情况，我们通常使用\(\sum\)来表示。它的使用用法也很简单，但是通常都要添加上下标，像$\sum_{}^{}$形式。除了连加，我们有时也使用连乘，虽然没有连加使用得多（连乘都能通过对数写成连加），它只要以$\prod_{}^{}$的形式表示。
<!--连加-->
$$\sum_{i = 1}^{n}x_i$$
<!--连乘-->
$$\prod_{i = 1}^{n}x_i$$
显示效果：
\[\sum_{i = 1}^{n}x_i
\[\prod_{i = 1}^{n}x_i
tip1：在latex中，默认情况下行内公式都是显示像\(\sum_{i=1}^na_{ij}\)的效果，如果想要这样的效果\(\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\)，就需要在前面加上\displaystyle，来重新看一下下面的例子：
<!--连加-->
$\sum_{i = 1}^{n}x_i$
$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i$
<!--连乘-->
$\prod_{i = 1}^{n}x_i$
$\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i$
显示效果：
\(\sum_{i = 1}^{n}x_i\)

\(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\prod_{i = 1}^{n}x_i\)

\(\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i\)
6. 极限
  还记得高数里极限的符号吗。在latex中的极限表示，也直接使用\lim这个我们时常看到的符号。当然极限通常都是带下标的，所以更多的是使用lim_{}的形式。
<!--来看看两个重要极限-->
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$$
显示效果：
\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1
\]
\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e
tip1：右箭头\(\rightarrow\)的表示方式为$\rightarrow$，左箭头\(\leftarrow\)的表示方式是$\leftarrow$
tip2：正无穷\(+ \infty\)的表示方式为$+ \infty$，负无穷\(- \infty\)的表示方式是$- \infty$
7. 积分
  如果想要输入积分，则需要使用\int_{}^{}来表示
$$\int_0^1 x^2 dx$$
<!--来看一个更加复杂的例子-->
<!--正态分布的分布函数-->
$$F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx$$
显示效果：
\[\int_0^1 x^2 dx
\[F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx
\]
8. 常用的希腊字母
  有时我们的公式里会包含一些希腊字母，而在latex中，其实只要会读希腊字母基本就会写出来。下面总结一些常用的希腊字母：
对应的代码
对应的代码
9.4 把符号放在正下方
有时我们需要把文本放在正下方，这是我们就可以使用$\underset$，有时也可以使用$\limits$
$$\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)$$
$$\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)$$
显示效果：
\[\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)
\]
\[\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)
\]
9.5 集合
<!--真包含-->
$$\subset$$
<!--包含-->
$$\subseteq$$
<!--属于和不属于-->
$$\in$$
$$\notin$$
<!--交集和并集-->
$$\cap$$
$$\cup$$
<!--其他-->
$$\mid$$
$$\supset$$
显示效果：
\[\subset
\[\subseteq
\[\in
\]
\[\notin
\[\cap
\]
\[\cup
\[\mid
\]
\[\supset
\]
9.6 成正比
使用$\propto$来表示
$f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)$
显示效果：

\(f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)\)
9.7 梯度
使用$nabla$来表示
$\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T$
显示效果：

\(\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T\)