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f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}-\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y} \right]\right)
f
(
x
,
y
)
=
2
π
σ
X
σ
Y
1
−
ρ
2
1
exp
(
−
2
(
1
−
ρ
2
)
1
[
σ
X
2
(
x
−
μ
X
)
2
+
σ
Y
2
(
y
−
μ
Y
)
2
−
σ
X
σ
Y
2
ρ
(
x
−
μ
X
)
(
y
−
μ
Y
)
]
)
其中两个随机变量的均值分别为 \rho=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y}}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{ {\sigma_X\sigma_Y}} ρ = σ X 2 σ Y 2 c o v ( X , Y ) = σ X σ Y E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y )
多元正态分布的表达式为：
f(x_1,x_2, \dots, x_k)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|\sum|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\bf X-\bf \boldsymbol{\mu})^T\sum\nolimits^{-1}(x-\boldsymbol{\mu)}\right)
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
=
(
2
π
)
k
∣
∑
∣
1
exp
(
−
2
1
(
X
−
μ
)
T
∑
−
1
(
x
−
μ
)
)
对于两个随机变量 XXX, YYY，若它们服从二维正态分布，则概率密度函数为：f(x,y)=12πσXσY1−ρ2exp(−11−ρ2[(x−μX)2σX+(y−μY)2σY−2ρ(x−μX)(y−μY)σXσY])f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{1-\rho^2}\left[\...
最近在看高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM），涉及到高斯分布的参数。为此特意回顾了概率论的
二维
高斯分布的相关概念，并分析了参数对
二维
高斯分布曲面的影响。
1 多维高斯分布的概率密度函数
多维变量X=(x1,x2,...xn)X=(x1,x2,...xn)X = ({x_1},{x_2},...{x_n})的联合概率密度函数为：
f(X)=1(2π)...
文章目录术语前言整数浮点数抽取字节洗牌排列贝塔分布二项分布卡方分布狄利克雷分布指数分布F分布伽玛分布几何分布耿贝尔分布超几何分布拉普拉斯分布（双指数分布）逻辑斯谛分布
正态分布
（高斯分布）对数
正态分布
对数分布多项分布
多元正态分布
负二项分布非中心卡方分布非中心F分布帕累托分布（Lomax Distribution）泊松分布幂律分布瑞利分布柯西分布（洛伦兹分布）标准指数分布标准伽马分布标准
正态分布
学生t分布三角形分布（辛普森分布）均匀分布冯·米塞斯分布（循环
正态分布
）逆高斯分布（Wald Distribution）韦伯分布齐夫分布参考文献绘图代码
pdf，概率密度函数（Probability
此函数计算具有指定参数（均值和协方差矩阵）的两个多元高斯分布之间的Kullback-Leibler（KL）散度。 协方差矩阵必须是正定的。 该代码高效且数值稳定。
例子： 1）计算两个单变量高斯之间的KL散度：KL（N（-1,1）|| N（+1,1）） mu1 = -1; mu = +1; s1 = 1； s2 = 1； mvgkl（mu1，s1 ^ 2，mu2，s2 ^ 2）
2）计算两个
二元
高斯变量之间的KL散度：KL（N（mu1，S1）|| N（mu2，S2）） mu1 = [-1 -1]'； mu2 = [+1，+1]'; S1 = [1 0.5; 0.5 1]; S2 = [1- -0.7; -0.7 1]； mvgkl（mu1，S1，mu2，S2）
其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均为常数，且σ1>0, σ2>0, |ρ|<1则称（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的
二维
正态分布
。
记作（X，Y）~N（μ1，μ2，σ1²，σ2²，ρ）
二维
正态分布
的密度函数如下图
显然f(x,y)>=0
2. 关于
二维
正态分布
，需掌握如下...
例如：在历史姓氏的统计下，对某个人姓氏作出猜测，先猜“李王张刘…“，猜对的概率相对较大，这就是先验概率，姓氏的历史统计就是先验信息。
若知道某人来自“牛家村“，则猜他姓”牛“的概率相对较大，但不排除其他姓氏的可能。这就是后验概率，来自”牛家村“就是后验信息。
实例：8支步枪中有5支已校准过，3支未校准。一名射手用校准过的枪射击，中靶概率为0.8，用未校准的枪射击，中靶概率为0.3；现从8支枪中随机取一支射击，结果中靶。
求
该枪是已校准过的概率。
记选校准枪的事件为A1，选未校准枪为A2。中靶
[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5)
正态分布
密度函数
f=1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-p*p))*exp(-1/(2*(1-p*p))*(((x-u1).^2)./(sigma1*sigma1)-2*p*((x-u1)*(y-u2))./(sigma1*sigma2)+((y-u2).^2)./(sigma2*sigma2)))
mesh(x,y,f)
"课程名称 "数据分析方法 "课程编号 " " "实验地点 "系统建模与仿真实验室SL110 "实验时间 " " "校外指导教师"无 "校内指导教师" " "实验名称 "实验3 距离判别与贝叶斯判别分析 " "评阅人签字 " "成绩 " " "实验数据与内容 " "我国山区某大型化工厂， 在厂区及邻近地区挑选有代表性的15个大气取样点，每 " "日4次同时抽取大气样品， 测定其中含有的6种气体的浓度， 前后共4天， " "每个取样点每种气体实测16次， 计算每个取样点每种气体的平均浓度， " "数据见表4-8。气体数据对应的污染地区分类见表4-8中最后一列。 现有两个取自 " "该地区的4个气体样本，气体指标见表4-8中后4行，试解决以下问题： " "1． 判别两类总体的协方差矩阵是否相等，然后用马氏距离差别这4个未知气体样 " "本的污染类别， 并计算回代误判率与交叉误判率；若两类总体服从
正态分布
，第 " "一类与第二类的先验概率分别为7/15、8/15， 利用贝叶斯判别样本的污染分类。 " "2．先验概率为多少时，距离判别与贝时斯判别相同调整先验概率对判别结果的影 " "响是什么 " "3．对第一类与第二类的先验概率分别为7/15、8/15，计算误判概率。 " " " " " "一、实验目的 " "1．熟练掌握MATLAB软件进行距离判别与贝叶斯判别的方法与步骤。 " "2．掌握判别分析的回代误判率与交叉误判率的编程。 " "3．掌握贝叶斯判别的误判率的计算。 " "二、实验原理 " "1）在MATLAB中，进行数据的判别分析命令为classify,其调用格式为： " "class=classify(sample,training,group'type') " "将sample数据的每一行指定到训练集training的一个类中。Sample和training必须" "具有相同的列数。group向量包含从1到组数的正整数，它指明训练营集中的每一行" "属于哪一类。group和training必须具有相同的行数。'type'是可选项，选'linear" "'表示总体为多元正态总体，选'quadratic'与'mahalanobis'。该函数返回class，" "它是一个与sample具有相同行数的向量。Class的每一个元素指定sample中对应元 " "素的分类。通过计算sample和training中每一行的马氏距离，classify函数决定sa" "mple中的每一行属于哪一个分类。 " "2）贝叶斯判别方法步骤 " "第1步，验证两个总体服从
二元
正态分布
；第2步，检验两个总体的协方差矩阵相等" "；估计两个总体的先验概率p1、p2；利用MATLAB软件计算。 " "3）回代误判率 " "设G1，G2为两个总体，x1,x2…和y1,y2…是分别来自G1，G2的训练样本，以全体训练" "样本作为m+n个新样品，逐个代入已建立的判别准则中判别其归属，这个过程称为 " "回判。回判结果中若属于G1的样品被误判为属于G2的个数为N1个，属于G2的样品被" "误判为属于G1的个数为N2个，则误判估计为： " "P^=（N1+N2）/(m+n) " "误判率的回代估计易于计算。但是，p^是由建立判别函数的数据反过来用作评估准" "则的数据而得到的。所以有偏，往往比真实误判率小。当训练样本容量较大时，p^" "可以作为真实误判率的一种估计。 " "4）交叉误判率估计是每次剔除一个样品，利用m+n-1个训练样本建立判别准则，再" "利用建立的准则对删除的样本进行判别。对每个样品做如上分析，以其误判的比例" "作为误判率，步骤； " "从总体G1的训练样本开始，剔除其中一个样品，剩余的m-1个样品与G2中的全部样 " "品建立判别函数； " "用建立的判别函数对剔除的样品进行判别； " "重复以上步骤，直到G1中的全部样本依次被删除又进行判别，其误判的样品个数记" "为N1*； " "对G2的样品重复以上步骤，直到G2中的全部样本依次被删除又进行判别，其误判的" "样品个数记为N2*。 " "于是交叉误判率估计为： " "p^*=(N1*+N2*)/(m+n) " "5）贝叶斯判别的有效性可以通过平均误判率来确定。判别准则的误判率在一定程 " "度上依赖于所考虑的各总体间的差异程度。各总体间差异越大，就越有可能建立有" "效的判别准则。如果各总体间差异很小，做判别分析的意义不大。 " "三、实验步骤 " "输入数据，判别两类总体的协方差阵是否相等，用马氏距离判断判别污染类别，计" "算回代误判率与交叉误判率，贝叶斯判别污染分类。 " "四、实验过程原始记录(数据、图表、计算等) " "1、输入矩阵，计算协方差矩阵是否相等 " ">> A=
mvnfast ：快速
多元正态分布
和学生t分布
mvnfast R软件包提供了与
多元正态分布
和Student t分布有关的高效计算工具。 由于通过Rcpp \ RcppArmadillo软件包使用了C ++代码并通过OpenMP API进行了并行化，因此这些工具通常比其他软件包提供的工具要快。 最重要的功能是：
rmvn() ：模拟多元正态随机向量。
rmvt() ：模拟学生的t个正常随机向量。
dmvn() ：评估
多元正态分布
的概率密度函数。
dmvt() ：评估多元学生t分布的概率密度函数。
maha() ：计算马哈拉诺比斯距离。
有关mvnfast的介绍和一些性能基准测试，请参见。
直接从
多元正态分布
讲起。
多元正态分布
公式如下：
这就是
多元正态分布
的定义，均值好理解，就是高斯分布的概率分布值最大的位置，进行采样时也就是采样的中心点。而协方差矩阵在多维上形式较多。
协方差矩阵
一般来说，协方差矩阵有三种形式，分别称为球形、对角和全协方差。以
二元
为例：
为了方便展示不同协方差矩阵的效果，我们以
二维
为例。(书上截的图，凑活着看吧，是在不想画图了)
其实从这个图上可以很好的看出，协方差矩阵对
正态分布
的影响，也就很好明白了这三个协方差矩阵是哪里来的名字了。可以看出，球形协方差矩阵，会产生圆形(
二维
)或者球形(三维)的等高线，对角协方差矩阵和全协方
<h3>回答1：</h3><br/>Python是一个功能强大的编程语言，它提供了很多可视化工具来绘制图形。其中，绘制
二维
高斯分布是其中的一项功能。
二维
高斯分布是指一个具有两个参数的概率分布，它的概率密度函数可以用
二元
正态分布
函数表示。要绘制
二维
高斯分布，可以使用Python中的Matplotlib库。
首先，需要导入必要的库：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
然后，定义一个
二维
高斯分布的函数：
def gaussian(x, y, mu_x, mu_y, sigma_x, sigma_y):
return np.exp(-((x-mu_x)**2/(2*sigma_x**2) + (y-mu_y)**2/(2*sigma_y**2)))
其中，x、y是坐标值，mu_x、mu_y是均值，sigma_x、sigma_y是标准差。
接下来，生成一组坐标点，并计算每个点的高斯分布值：
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 100), np.linspace(-3, 3, 100))
z = gaussian(x, y, 0, 0, 1, 1)
最后，使用plt.contour函数绘制等高线图：
plt.contour(x, y, z)
plt.show()
这样就可以绘制出一个
二维
高斯分布的图形了。如果需要修改均值和标准差，只需要修改mu_x、mu_y、sigma_x、sigma_y即可。
<h3>回答2：</h3><br/>
二维
高斯分布是一类常见的概率分布，也是统计学中非常重要的一个分布模型，它可以用来描述很多实际问题中的数据分布。在Python中，我们可以使用Matplotlib库来绘制
二维
高斯分布。
要绘制
二维
高斯分布，我们需要了解
二维
高斯分布的数学公式和Matplotlib库中相关函数的使用方法。
二维
高斯分布的数学公式如下：
$$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y}e^{-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}-\frac{(y-\mu_y)^2}{2\sigma_y^2}}$$
其中，$\mu_x$和$\mu_y$是分布的均值，$\sigma_x$和$\sigma_y$是分布的标准差，$x$和$y$是
二元
随机变量。
在Matplotlib库中，我们可以使用matplotlib.pyplot.imshow函数来绘制
二维
高斯分布。
首先，我们需要生成一个网格，用于表示
二维
平面上的点的坐标。我们可以使用numpy库中的函数生成该网格。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义均值和标准差
mean = [0, 0]
cov = [[1, 0], [0, 1]]
# 生成网格坐标
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 100), np.linspace(-3, 3, 100))
然后，我们根据生成的网格坐标和数学公式计算出每个点的值，用于绘制
二维
高斯分布的热图。
# 计算每个点的值
pos = np.empty(x.shape + (2,))
pos[:, :, 0] = x
pos[:, :, 1] = y
z = multivariate_normal(mean, cov).pdf(pos)
最后，我们使用imshow函数将计算出的点值绘制成热图，即可得到
二维
高斯分布的图像。
# 绘制热图
plt.imshow(z, cmap='hot', interpolation='nearest')
plt.colorbar()
plt.show()
完整的代码如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal
# 定义均值和标准差
mean = [0, 0]
cov = [[1, 0], [0, 1]]
# 生成网格坐标
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 100), np.linspace(-3, 3, 100))
# 计算每个点的值
pos = np.empty(x.shape + (2,))
pos[:, :, 0] = x
pos[:, :, 1] = y
z = multivariate_normal(mean, cov).pdf(pos)
# 绘制热图
plt.imshow(z, cmap='hot', interpolation='nearest')
plt.colorbar()
plt.show()
运行以上代码，即可得到一个
二维
高斯分布的热图。如果需要绘制不同的
二维
高斯分布，只需要修改均值和标准差的值即可。
<h3>回答3：</h3><br/>高斯分布，也称
正态分布
，是常见的连续概率分布之一，具有钟形曲线的特点，其分布函数在数学、统计学、物理学等诸多领域有广泛的应用。在Python中，我们可以使用NumPy和Matplotlib库来绘制
二维
高斯分布。
首先，我们需要生成高斯分布的数据。在
二维
平面上，我们需要生成两个
正态分布
的数据，并将其合并起来。可以使用下面的代码来生成数据：
```python
import numpy as np
# 生成数据
x, y = np.random.multivariate_normal(mean=[0, 0], cov=[[1, 0], [0, 1]], size=1000).T
其中，`numpy.random.multivariate_normal`函数可以生成
二维
的
多元正态分布
数据。`mean`是均值向量，`cov`是协方差矩阵，`size`是生成数据的个数。
接下来，我们可以使用Matplotlib库中的`scatter`函数来绘制散点图。可以使用下面的代码来绘制：
```python
import matplotlib.pyplot as plt
# 绘制散点图
plt.scatter(x, y, s=2)
plt.show()
其中，`s`参数控制散点的大小。
绘制出来的散点图如下所示：
可以看到，生成的数据点呈现出了高斯分布的特点。
除了绘制散点图，我们还可以使用密度图来更加清晰地显示
二维
高斯分布的轮廓。可以使用Matplotlib库中的`hexbin`函数来绘制
二维
密度图。可以使用下面的代码来绘制：
```python
# 绘制密度图
plt.hexbin(x, y, gridsize=30, cmap='Blues')
plt.show()
其中，`gridsize`参数控制网格的大小，`cmap`参数控制颜色映射。
绘制出来的密度图如下所示：
可以看到，密度图显示了
二维
高斯分布的轮廓，更加清晰地展示了数据的分布规律。
综上所述，Python绘制
二维
高斯分布可以通过生成数据和使用Matplotlib库来绘制散点图和密度图。这不仅展示了Python的分析能力，也体现了Python在科学计算领域的优越性。
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