旋转矩阵解决自然坐标系的正交分解及动量守恒问题

一，旋转矩阵

1，和一般解法相比的优势：

一般解法，即普通的正交分解，有时候会很麻烦，甚至要使用三角函数的和差角去做。但是2•2的矩阵乘法，算起来特别方便。

2，线性变换的几何意义。

我本人特别讨厌课本上的讲解，因为它仅告诉你怎么算，却缺乏几何直观，导致概念理解枯燥无味而且难。而我本人是收到了3blue1brown的启发。深刻了解线性代数的几何意义，才能更好的将其运用到数学模型，物理计算中。下面以二维的向量空间解释。线性代数的本质就是坐标变换。

比如这个矩阵可以看成向量（1，2）。而方阵

可以看成单位向量i与j的变换。i原来是（1，0），现在变成了（1，1）。j原来是（0，1），现在变换成（-1，2）所以“新的”x轴和y轴也随i与j而变换，所成的坐标系长这样

比如，原来的（1，0）变到了（1，1）。原来的（1，1）变到了（0，3）

用线性代数的方法描述，就是

3，行列式的意义与逆矩阵

记矩阵为A，其行列式是｜A｜，它的值的绝对值就是原来1·1方格经过变换后的面积。

单位矩阵记为E。其意思就是不做变换。为

左边是三维的右边是二维的。逆矩阵记做A^-1。当A的秩不为0时，有AA^-1=A^-1A=E。意思是xOy坐标经过变换A后再进行变换A^-1后，仍然是xOy坐标。

4，旋转矩阵

将原来的xOy坐标旋转一个角度形成一个新的坐标系，那么乘的矩阵就叫做旋转矩阵。经过变换后，i和j长度仍然是1，仍然互相垂直。比如

我们要满足上面条件。可以写为

单位化使得其行列式为1

二，自然坐标系的运用

1，自然坐标系

自然坐标系以物体速度朝向为切向建系。法向方向指向曲率圆的圆心。可以说，物体时时在运动，坐标系也在时时变化。所以用矩阵（方程）表示，在一般情况下都可以简化计算。

2，例题实战

用相似去算，同时使行列式化一，以切向为i的新方向，法向为j的新方向。那么有

A是xOy顺时针旋转arctan（3/2）。明显A^-1就是逆时针旋转arctan（3/2）通过相似全等之类的很容易写出矩阵A^-1。所以想在mOn里表示a的坐标。只需要求

这样就有效避免了三角函数，最关键的是，可以用矩阵方程去表示任意时刻的加速度。

3，复变函数

旋转坐标，与复变函数中的exp函数是一样的。因此，求解正交分解，用复变函数同样是可以操作的，这里就暂时不展示了

三，碰撞模型的简化计算

1，非对心碰撞

非一维的碰撞，质心运动的方向不在同一直线上，称此为非对心碰撞，我们可以使用正交分解，那么x轴和y轴上分别有动量守恒。所以对于这类问题，尤其是计算动能损失率的题目时，会格外痛苦，因为在x和y轴上都要列方程。

2，简化计算

我们利用旋转矩阵或者复变函数，可以把问题简单化。比如，将其中一个小球的运动转为x'轴上的运动，那么其在y轴上就不用讨论了，而且第二个小球的y’方向的动量保持不变。大大简化计算。

3，实战解析