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今天分享复杂性科学领域里面一个典型而有趣的模型：分形几何。本文将展现分形的基本概念，典型案例，知名学者、和一些入门的学习资源。
我们知道直线是1维的，平面是2维的，空间是3维的，时空是4维的，那身体的毛细血管、绵延的海岸线、晶莹的雪花这些不规则的几何体，又是多少维呢？透过分形几何的理论，我们可以了解如何计算这些非规则的曲线的豪斯多夫维度（即分数维度）。并且运用这种思维去理解生活中那些平常但是却在细小之处变化的现象，加深你对这个复杂世界的认识。
无标度性
（
Scale-free
）
所谓无标度性，是指当我们变换不同的尺度，都会发现系统还是那样，它没有变化（即自相似性），也就是标度不变性。比如我们所说的大漩涡套着小旋涡，它们发生在不同的尺度，但是却表现出相似性，这就称为无标度特性。
非线性（Nonlinear）
非线性就是和线性相对，线性是指成比例，而非线性则指输入和输出不成比例，比如抛物线就是非线性的。在复杂系统中，非线性是最重要的特性之一。
——分形之父
Benoit B. Mandelbrot
Mandelbrot 集
提到分形，我们就不得不提曼德布洛特集合（Mandelbrot set），这是一种在复平面上组成分形的点的集合，以数学家
伯努·瓦曼德布洛特
（Benoît B. Mandelbrot）
的名字命名。Mandelbrot集合与Julia集合有些相似的地方，例如他们都使用相同的复二次多项式来进行迭代。
曼德布洛特集合可以用复二次多项式：
。
曼德布洛特集主要是通过固定z0=0，不断迭代c得到的，产生一组发散数列：
如果数列发散，则在二维平面内，将所有不属于集合内的点标记为黑色，属于集合内的点按照发散速度赋予不同的颜色，就可以得到经典的曼德布洛特集图像。
图4：The Mandelbrot set
Julia集
Julia集和 Mandelbrot 集具有相同的数学表示形式，唯一的不同是，Julia集是通过固定c，不断迭代，计算z的值得到的，产生一组发散序列
同理，将所有不属于集合内的点标记为黑色，属于 集合内的点按照发散速度赋予不同的颜色，会得到不同的Julia集图像。
图5：当c取某一值的时候Julia集合在复平面上的图像
科赫曲线 Koch curve
科赫曲线（
Koch curve
）是一种神奇的曲线，因为形态跟雪花很像，所以也称为科赫雪花，最早出现在海里格·冯·科赫
（Helge von Koch）
的论文中，通过下面这个动图，你知道科赫雪花是如何形成的吗？
第一步：画一个等边三角形，并把每一边三等分；
第二步：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“与主三角形靠近的一边”擦掉；
第三步：重复上述步骤，画出更小的三角形；
第四步：一直重复。
由上述步骤所画出的曲线叫做科赫曲线（Koch curve）。
谢尔宾斯基三角形 Sierpinski triangle
我们都知道一个平面三角形的维度是二维的，但是在分形几何中，三角形有不同的维度计算方法。谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）也是一种分形典型示例，由波兰数学家谢尔宾斯基于1915年提出。它是自相似集的例子。它的豪斯多夫维数是
可以通过多种方法得到这个三角形，这里介绍其中的一种方法：
第一步：取一个实心的三角形。(多数情况下使用等边三角形）；
图5：谢尔宾斯基三角形
（Sierpinski triangle）
图6：伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot
法国、美国数学家（双国籍），最大的成就是创立了分形几何。1967年，
曼德布洛特
在美国《Science》杂志上发表题目为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，标志着其分形思想的萌芽。
朱尔·亨利·庞加莱 Jules Henri Poincaré
图7：朱尔·亨利·庞加莱 Jules Henri Poincaré
法国最伟大的数学家之一，理论科学家和科学哲学家。庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后数学家。早在19世纪初，庞加莱在研究三体问题中，使用了新的几何方法。
格奥尔格·康托尔Georg Cantor
图8：格奥尔格·康托尔Georg Cantor
德国数学家，创立了现代集合论，是实数系以至整个微积分理论体系的基础，构造了三分康托尔集。
海里格·冯·科赫 Helge von Koch
图9：海里格·冯·科赫 Helge von Koch
瑞典数学家，在他1904年的一篇论文“关于一个可由基本几何方法构造出的，无切线的连续曲线”（原文的法文标题为：“
Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire
”）中，他描述了科赫曲线的构造方法。
瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基 Wacław Sierpiński
图10：瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基 Wacław Sierpiński
波兰数学家，因对集合论、数论、函数的理论和拓扑学的出色贡献而闻名。两个著名的分形是根据他的名字命名：谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯；另外还有谢尔宾斯基数和谢尔宾斯基问题也是以他的名字命名。
费利克斯·豪斯多夫
Felix Hausdorff
图11：费利克斯·豪斯多夫 Felix Hausdorff
德国数学家，他是拓扑学的创始人之一，他定义和研究偏序集、豪斯多夫空间和豪斯多夫维，证明豪斯多夫极大定理（Hausdorff maximality theorem）。提出了豪斯多夫维数来计算分形维数。
市场的（错误）行为：
风险、破产与收益的分形观点
The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence
《市场的（错误）行为》以分形视角观察金融市场的行为，推翻了作为当代金融分析基础的“随机游走”理论。通过分形模型，市场表现被重新阐释。本书是现代金融理论标准工具和模型的一次革命性重估，书中的观点颠覆了成千上万投资者的既有观念。
市场的（错误）行为：
风险、破产与收益的分形观点The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence
http://rrd.me/gfz56
市场的（错误）行为：风险、破产与收益的分形观点
The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence
Chaos，Soliton and Fractals
[1]分形，百度百科 :http://baike.baidu.com/view/83243.htm
[2]分形，维基百科:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%BD%A2
[3]Mandelbrot set, WIKI :http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
[4]Julia set, WIKI :http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set
[5]神奇的分形艺术（四）：
Julia 集和 Mandelbrot 集，Matrix67 http://www.matrix67.com/blog/archives/292
[6] 豪斯多夫维数
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B1%AA%E6%96%AF%E5%A4%9A%E5% A4%AB%E7%BB%B4%E6%95%B0
[7] 计盒位数
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AE%A1%E7%9B%92%E7%BB%B4%E6%9 5%B0
[8] 科赫曲线，维基百科
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%91%E8%B5%AB%E6%9B%B2%E7%B 7%9A
[9] 谢尔宾斯基三角形
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AC%9D%E7%88%BE%E8%B3%93%E6%96%AF%E5%9F %BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
[10]
陈关荣老师关
于分形的信息整理
：
https://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/FractalsStories.pdf
[11]
分形的代码演示
：
http://www.fxysw.com/thread-4982-1-1.html
[12]
IBM的分形
：
https://www31.ibm.com/ibm/cn/ibm100/icons/fractal/impacts.shtml
[13]
浅谈分形几何学
http://www.yingzhenli.net/home/pdf/%E5%88%86%E5%BD%A2%E4%B8%8E%E6%B7%B7%E6%B2%8C.pdf
https://www.youtube.com/watchv=PD2XgQOyCCk
