两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：
对于这样一个偏微分方程，我们想要通过计算机求它的数值解：
对于一个函数f(x)在x处的一阶导数我们可以用它的中心差分来表示：f'(x)=(f(x+dx/2)-f(x-dx/2))/dx.令dx=1可得f(x)步长为1的一阶导数f'(x)=f(x+0.5)-f(x-0.5).同理f(x)的二阶导数f"(x)可以看作
f(x+0.5)-f(x-0.5)的一阶导数，再使用一次中心差分可得f"(x)=f(x+1)-2f(x)+f(x-1)。
对于二元函数F(x,y),F(x,y)对自变量x的二阶偏导为F(x+1,y)-2F(x,y)+F(x-1,y)，
对自变量y的二阶偏导为F(x,y+1)-2F(x,y)+F(x,y-1)。对拉普拉斯方程可以得到
F(x+1,y)-2F(x,y)+F(x-1,y)+
F(x,y+1)-2F(x,y)+F(x,y-1)=0，即F(x,y)=(
F(x+1,y)
+F(x-1,y)+
F(x,y+1)
+F(x,y-1))/4。在已知边界条件和初始条件的情况下可以迭代求和得到满足精度要求的数值解F(x,y)。
文章目录前言调和
方程
边界元方法的基本知识二维空间的
拉普拉斯
方程
的基本解为三维空间的
拉普拉斯
方程
的基本解为积分计算
调和
方程
的基本解以及边界元方法中某积分的解析结果。
调和
方程
设 u(x1,...,xn)=f(r)u(x_1, ..., x_n) = f(r)u(x1,...,xn)=f(r) （其中 r=x12+...+xn2r = \sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2}r=x12+...+xn2 ）是 nnn 维调和函数 （即满足
方程
∂2u∂x12+...,+∂2u∂xn
有限差分法 (finite difference method)是一种
数值
求解偏微分
方程
的方法，它将偏微分
方程
中的连续变量离散化为有限个点上的函
数值
，然后利用差分逼近导数，从而得到一个差分
方程
组。通过求解差分
方程
组，可以得到原偏微分
方程
的
数值
解。
在实际应用中，有限差分法通常与其他
数值
方法结合使用，如有限元法、边界元法、谱方法等。这些方法各有特点，可以针对不同的问题选择合适的方法求解。相关书籍众多。本专栏只介绍其简单的应用, 来帮助读者了解
数值
方法的发展过程。
前面一章推到以一下常用的几个距离公式,今天要来说一下机器学习中非常常用的一个算法,线性回归，这篇文章主要讲述的是二维情况下的线性回归问题.写这篇文章的目的有三个:一是利用平台做一次笔记;二是通过自己的理解看能够把这个知识点讲清楚也是判断自己是否掌握了;三是为后面有需要的小伙伴提供一个参考吧.不啰嗦了,开始进入正题:
一、原理讲述
这个应该上过高中的小伙伴都听过,也都用过,那是在高中必修...
我们主要关注
拉普拉斯
算子在图像方面的应用。首先，列出二维
拉普拉斯
算子的定义：
Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}Δf=∂x2∂2f+∂y2∂2f
从公式中可以看到，Laplace 算子在图像上，实际就是 x, y 两个方向的二阶偏导...
