时间序列单位根检验步骤详解

本文章的单位根检验指的是最常见的DF、ADF和PP单位根检验。

什么是单位根检验

p阶AR模型 y_t=\alpha+\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+...+\phi_py_{t-p}+\omega_t ， \omega_t 是白噪声， \Rightarrow y_t-\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+...+\phi_py_{t-p}=\alpha+\omega_t \Rightarrow (1-\phi_1L+\phi_2L^2+...+\phi_pL^p)y_t=\alpha+\omega_t ，L是延迟算子。自回归滞后系数多项式令其为零得方程 1-\phi_1L+\phi_2L^2+...+\phi_pL^p=0 ，此处把L看成是普通的未知变量。此方程即为自回归滞后系数特征方程，如果该方程存在为1的根（即存在L=1的情况），则称方程存在单位根。比如“随机游走”过程的模型是 y_t=y_{t-1}+\omega_t ，特征方程是 1-L=0 ，解为 L=1，所以随机游走是一个 单位根过程 。单位根检验就是在检验序列是否是“单位根过程（非平稳序列）”，即特征方程存在为1的根，否则就是平稳过程。“发散过程（特征方程存在根的绝对值大于1）”并不是我们研究的对象（意思是我们要研究的时间序列都不是发散序列），所以不考虑发散过程。

单位根检验的前提

检验单位根的零假设是：序列是随机游走或者带漂移的随机游走，备择假设是：过程是平稳或者趋势平稳。意味着被检验序列要么平稳，要么包含一个单位根或者趋势平稳。如果包含多个单位根，必须先进行差分到只剩一个单位根，否则检验无效。 单位根检验的统计量分布都是基于假设序列只包含一个单位根 （序列是随机游走或者带漂移的随机游走）。这一点在教科书上没有明文说明，而是隐含的，如果对单位根检验研究的足够多是可以看出这个隐含前提的，但是我估计大部分小白并不能看出这个前提，所以特在此说明。

DF单位根检验的生成过程和检验模型

实际序列是如下两种单位根过程（生成过程）：

A，随机游走： y_t=y_{t-1}+\omega_t ； \omega_t 是白噪声；

B，带漂移的随机游走： y_t=\alpha+y_{t-1}+\omega_t，\alpha\ne0 。

为了检验以上两种情况，一共有3种检验模型。

模型1: y_t=\rho y_{t-1}+\omega_t

模型2: y_t=\alpha+\rho y_{t-1}+\omega_t

模型3: y_t=\alpha+\delta t+\rho y_{t-1}+\omega_t

检验如果不能拒绝 \rho=1 ，则接受零假设（序列包含一个单位根），否则拒绝零假设，即序列是平稳或趋势平稳（模型3中的 \delta\ne0 ）的。

模型1只能检验过程A，模型2可以检验A，B，模型3可以检验A，B。实际检验的时候到底用哪个检验模型要看零假设和备择假设，所以这就是为什么会有模型2和3两个检验模型去检验同一个零假设的原因。

还有3个联合假设的F检验：

\phi_1:\alpha=0，\rho=1 （针对模型2的零假设）

\phi_2:\alpha=0，\rho=1，\delta=0 （针对模型3）

\phi_3:\rho=1，\delta=0 （针对模型3）

正规检验步骤

1. 从模型3开始。 \rho=1 被拒绝，则序列不包含单位根，检验结束（当然了，可以进一步去检验是否是趋势平稳还是只是平稳）。如果不拒绝零假设，则进行F检验 \phi_3 ，如果前面说的前提条件满足，该检验是不能被拒绝的，否则要检查前提条件是否满足或者进一步排查原因。如果 \phi_3 不能拒绝，则必须进一步检验 \phi_2 ，因为我们要进一步确认序列是A和B中的哪一种。如果 \phi_2 被拒绝，则序列是带漂移的随机游走，检验结束。如果 \phi_2 不能被拒绝，意味着序列是随机游走，如果是随机游走，模型2的功效要大于模型3，因为功效低，模型3可能犯二类错接受了错误零假设，所以我们必须用模型2去做进一步的检验。
2. 使用模型2，注意了，此处使用模型2的零假设是：序列是随机游走。检验统计量的分布都是基于这个零假设。如果 \rho=1 被拒绝，则序列不包含单位根，序列是平稳的，检验结束。如果不拒绝零假设，则进行F检验 \phi_1 ，不出意外 \phi_1 不能被拒绝，如果拒绝了要排查原因。如果 \phi_1 不能被拒绝，序列有非零均值，则检验结束，序列有零均值，则使用模型1做进一步的检验，因为模型1功效大于模型2。
3. 使用模型1，零假设是：序列是随机游走。零假设被拒绝，则序列不包含单位根，检验结束，否则序列是一个随机游走序列。

虽然模型2可以检验生成过程B，但是实际中我们只用它检验A。A和B，模型2的统计量分布是不同的，统计软件中使用模型2做的检验，其零假设都是：过程是随机游走。这一点，切记。对于模型3，在对应的零假设下，A和B这两个过程，其检验统计量分布是一样的。模型3，如果实际过程是存在单位根，并且线性确定性部分 \delta 不为零，则统计量的分布和 \delta 为零的分布不同（如果检验前提满足，则这种情况不会出现）。不同零假设A或B对应不同模型统计量分布可以参考 Hamilton的《时间序列分析》。

ADF检验的步骤和DF检验步骤相同。PP检验过程也是 差不多的。 PP检验的联合F检验在此不做叙述，可以参考 中国人民大学出版社 出版的《现代时间序列分析导论》，我看的是该书第二版。

非常遗憾的一件事情是：常用统计软件不提供联合F检验，只能靠我们手动自行建立模型去做F检验。如何手工进行F检验可以参考 沃尔特·恩德斯的《应用计量经济学：时间序列分析》。

正规步骤的简化

图1序列图显示序列开始上升，然后下降，此序列要么平稳，要么是一个随机游走，所以零假设自然是：序列是随机游走。此时可以使用模型2来开始检验（从正规步骤的步骤2开始）。如果序列是平稳的，显然均值不为零，为了和备择假设对应，所以用模型2开始检验。图中显示序列均值并不为零，所以步骤1是不必要的，可以不做。使用模型1的原因是模型1比模型2功效更高，为了避免犯二类错误才进一步进行模型1的检验，如果模型2不能拒绝零假设，而序列均值非零，模型1检验结果不可能会拒绝零假设，所以模型1的检验没有必要。

图2序列图显示序列一直是上升的，此序列要么是趋势平稳，要么是带漂移的随机游走。零假设自然是：序列是带漂移的随机游走，备择假设是：序列是趋势平稳过程。从正规步骤的步骤1开始，后面的步骤2和 1无须做，因为时序图表明这不可能是一个随机游走。

如果只是单纯检验系列是否包含单位根

使用正规检验步骤可以判断序列是否包含单位根，同时可以判断是A和B中的哪一种非平稳。如果我们只是简单想知道序列是否平包含单位根，那么有一个简单的方法，并且该方法无需做F检验，通过统计软件就可以实施。

同时使用三个模型做检验，如果任何一个模型出现平稳结果，则序列平稳，否则（3个模型都不拒绝零假设）序列包含单位根。嗯，简单粗暴，非常有效。中国人民大学王燕老师的《应用时间序列分析》一书中采用的就是这种方法。

《计量经济学-张晓峒》书中的错误单位根检验步骤

下面是该书的检验步骤

此处的12-22对应模型1，12-24对应模型2，12-25对应模型3，该书因为在模型方程两边都减去了 y_{t-1} ，所以序列如果存在单位根，则有 \rho=0 。

错误如下：

1. 步骤1中的(1)错误，因为模型3的备择假设是：序列平稳或者趋势平稳，所以(1)这种情况根本就不存在，也就是不满足检验前提。
2. 步骤1中的(2)出现，会接着进行步骤2。前文说过“ A和B，模型2的统计量分布是不同的”， 所以使用模型2必须首先选定你的生成过程到底是A和B中的哪一个才行。步骤2中的(1)出现，说明生成过程是B，步骤2中的(2)出现，说明生成过程是A，那么请问，步骤2的零假设到底是哪一个？逻辑混乱。

本人才疏学浅，如果文章观点存在错误或者疏漏，欢迎在评论区指出。