杨 冰 分析员， SAC 执业证书编号： S0080515120002

房 铎 联系人， SAC 执业证书编号： S0080117080049

姬江帆 分析员 ， SAC 执业证书编号 ： S0080511030008 ； SFC CE Ref: BDF391

转债理论定价一直是个略显尴尬的话题。在没有真正进入转债市场时，几乎所有人最先了解到的都是其定价机制（尽管可能并不深入），毕竟这是最容易在学校里讲授的内容。但在真正来到这个市场之后，又很快发现理论上的定价其实并不重要。毕竟价格是交易出来的，不是模型跑出来的。而在转债只数不多的年代，投资者结构和供给形势 —— 这些不可量化的因素，又很大程度上决定着转债的定价方式。这使得不少人在职业初期就绕过了定价模型的学习。

不过，过于轻视也有失偏颇。一方面，掌握定价模型有助于更快理解转债这一产品，而掌握了这一工具，也有助于分析市场。例如对于转债估值水平的衡量来说，最纵向可比的指标，依然是隐含波动率。无论如何改造溢价率、债底溢价率、 YTM 这些指标，都无法将其纵向可比性抬高到与隐含波动率相同的水平。再如评价这种对正股、债底的敏感性，除了 “ 印象流 ” 以外，由定价模型衍生出的敏感系数计算也是有价值的工具。再比如转债市场的情景分析时，有 Monte-Carlo 模拟模型总比没有更好。另一方面，市场也在变化，转债已经基本走出小众市场的范畴，年金、社保、 QFII 、权益投资者等等群体都已经加入到这一市场。未来理性、可量化的成分将肉眼可见地变多，此时定价模型的戏份也会提高。因此，我们在此对转债常用的定价模型及其实现方法进行介绍，并顺带聊一聊转债研究员可能会用到的 Python 技巧。当然，这里并非 Python 入门介绍，我们仅对一些需要解释的技巧进行讲解。

Black-Sholes 模型 是转债定价模型中最简单也最方便使用的一个。其思路是将转债拆分成债底 + 期权，并对两步分进行分别定价。其中债底用传统的贴现方法就可以得到，期权部分则是只考虑转股权，而且是将转股期权简化为一个欧式看涨期权。

二叉树模型 在实战中有些高不成、低不就。显然在理论上讲，二叉树可以解决提前转股的问题。但就 A 股的转债定价而言，真的需要这样的设定吗？有实战经验的投资者知道，基本上转债的转股都发生在赎回触发之后（也有不带赎回条款的，是到期决定转股与否，博汇接近于这样的处理，还有 14 宝钢 EB ）。日常可能出现零星的负溢价，从而诱导投资者小批量转股。而以二叉树模型的设定，外加 A 股转债有票息、实际无分红（因为分红之后转股价会调整），基本不会出现期权价值小于当场转股的可能（数学上亦可证明）。因此，这一理论上的优势，结合实战经验考虑，也显得有些多此一举。同时，这个模型对于赎回压制、回售保护也无法给出很好的刻画。而该模型的 “ 低不就 ” 就显得更加明显，相比 BS 公式其运行速度不在同一量级。总之，这些特性使得二叉树模型在 A 股转债领域的实际应用价值降低。

模拟法是最精巧也最慢的定价模型。经典的计算过程是： 1 ）模拟股价； 2 ）计算到期日的转债价值； 3 ）从到期日开始逆推转债在其他日期的价值，此时需要额外的两个工作，一是用最小二乘法预估继续持有转债的价值（从而与直接转股进行对比，做出决策），二是看转债过去 N 日的路径，若触发赎回、回售条款，则进行相应处理； 4 ）将每一条模拟路径下的转债价值汇总，求均值。但结合实战经验考虑，实际可以更加简单。

Monte-Carlo 模拟法 应用的场合？由于计算慢，对计算机消耗大，一般太讲究实效性的场合不会用。但其最大的优点在于能够考虑赎回条款对转债估值的压制，以及回售条款的保护性。它让投资者可能更加合理地考虑某些假设情况下转债的走势（跟涨能力、保护性），因此我们常用它来给转债做情景分析。

无论什么模型，自身的局限性自不必说。但仅就其有用的方面来讲，上述内容还远未完成（虽然篇幅已经不小）。不仅包括隐含波动率的计算、其他敏感系数的计算、情景分析的应用这些明面上的内容。实际算法还有很大的优化空间，但为表述清晰我们也不在此深入讨论。此外，我们在实际分析市场的过程中，还会考虑转债稀释以及转股给市场带来的冲击，不同品种下修倾向的假设，限于可以留在未来讨论。

Black-Scholes 模型

Black-Sholes 模型是转债定价模型中最简单也最方便使用的一个。 其思路是将转债拆分成债底 + 期权，并对两步分进行分别定价。其中债底用传统的贴现方法就可以得到，期权部分则是只考虑转股权，而且是将转股期权简化为一个欧式看涨期权。

其优点自然是方便、快速，而且正是由于简单，其运行的稳定性也最高。因此其被常用在：

1 、各类 Monitor 中，尤其是实时监控的 Monitor ，基本只有 BS 模型能够正常运行。

2 、计算转债各敏感系数，最常用的如 Delta ，代表着在对正股的敏感性。但实际 Delta 和其他的希腊字母都有一个缺陷，就是其仅对计算的那一瞬时有效（而当股价变了， Delta 也不再准确），虽然还可以用 Gamma 等进行补救，但缺陷依然存在。

3 、投行或审计的项目中，由于历史久、名气大、实现容易， BS 模型也最常被用在这些场合。

缺点自然就是太简单了，没有考虑赎回权、下修和回售的博弈，但在乎这些的人自然也不会选 BS 公式。

BS 模型的实现：

首先是一些准备工作。要引用一些必要的包库，不多解释：

作为输入变量，我们的转债条款用一个 Dict （字典）变量来表示，如下：

计算债底：这里至少先需要一个现金流处理函数和一个贴现函数。前者是把转债的票息条款翻译成现金流（这里用两个 list 变量，没有继续用字典），后者把这些现金流贴现得到债底值。先来做第一个函数：

为什么函数命名时，前面加了一个 “_”? 实际 Python 在公用函数和私有函数之间太明显的区分，一般前面加一个 “_” 代表这是一个私有函数。显然，这个函数未来只是 BS 模型的一环，我们也不准备给予其外部接口。

贴现现金流的函数，比较简单（为什么没用金融计算库？这个库对转债来说，其实不太友好）。其中， enumerate 函数是 python 中非常实用的迭代器，在不得不开始 “for” 的时候， enumerate 往往比 “for i in range(xxx)” 更实用，也更清晰 ：

在上面准备好之后，计算债底的函数非常简单：

下面来准备期权部分。实际上，虽然数学上的重头戏在这一部分，但由于不用条款预处理等，实际上算期权比算债底简单得多。首先来准备 BS 公式（这个其实有现成的库，但由于太简单了，没必要引入那个库来拖时间）：

一切准备就绪，下面用一个函数将上面的内容拼接起来，组成转债定价的函数。

内容非常容易理解，不多说。可以看到，最终可以直接算转债定价的函数非常简单，去掉 啰 嗦的注解实际只有 8 行。但前提是其中套了几个辅助函数，同时用了 numpy 和 datetime 两个常用库。这也是 Python 中比较鼓励的形式，尽量简化每一个函数，并尽量使用现成的库。

几处细节：

1 、 r 是用无风险收益率还是用同等级 期限信用债收益率？教课书上是前者，实际要用后者。因为在期权定价推导的过程中，是假定买入期权 + 做空正股的对冲完成之后，这个组合没有风险，因此也应该有着无风险的收益率。但对于 A 股转债来说，这样的组合还是要承担债券发行人的信用风险的。一旦违约，连债底带转股期权都将不复存在。因此我们一般都用后者。

2 、但同等条件下， r 越高，期权价值越高，会不会导致信用偏弱的品种反而更有价值？不会， r 对期权的影响远不如对债底的影响。

3 、为什么 x （期权执行价）要等于转股价 * 到期赎回价 / 100 ？因为对于到期赎回价 107 元的转债来说，到期时如果平价没超过 107 元，投资者也不会转股。因此对于欧式期权来说，实际上转股价 * 到期赎回价 / 100 才是期权执行价。

4 、那到期赎回价高反而吃亏咯？当然不会，因为那将反映到债底上。

二叉树模型

二叉树是一种数值解法，需要先生成风险中性空间下的股价树，然后逐层倒推完成定价。而转债由于票息和本金的存在，也让这个稍稍复杂一些。模型推导不在此重复，优缺点也不再老生常谈，我们直接进入实现步骤。

与 BS 公式不同，这里我们不妨先看看最终的函数：

可以看到基本和 BS 公式在结构上没有太大区别，但不再计算债底，而是先翻译转债的票息现金流。这些现金流的价值将在 binomialTree 这一步中一并计算。而这里的 _cashFlowDict 与 BS 公式时写的 _cashFlowCalc 有点区别，后者的时间都是以年为单位的，这里转换成以天为单位的，方便其在 Tree 中计算（因为树中的每一层代表一天）。同时，为了引用方便， _cashFlowDict 将返回一个字典变量，而非两个 list 。此外，为了方便在其他函数里调用，避免套 if ，我们还做了一个十分简单的 cashFlowGenerator 函数，该函数在有票息支付的日子里返回票息（或者本金），否则返回 0.

下面看 binomialTree 函数：

步骤非常容易理解，这里又需要用到两个内部函数，分别是 _underlyingTree 和 _calcOptionTree 。前者是生成股价数，后者是在树上计算转债定价。

二叉树模型在实战中有些高不成、低不就。 显然在理论上讲，二叉树可以解决提前转股的问题。但就 A 股的转债定价而言，真的需要这样的设定吗？有实战经验的投资者知道，基本上转债的转股都发生在赎回触发之后（也有不带赎回条款的，是到期决定转股与否，博汇接近于这样的处理，还有 14 宝钢 EB ）。日常可能出现零星的负溢价，从而诱导投资者小批量转股。而以二叉树模型的设定，外加 A 股转债有票息、实际无分红（因为分红之后转股价会调整），基本不会出现期权价值小于当场转股的可能（数学上亦可证明）。 因此，这一理论上的优势，结合实战经验考虑，也显得有些多此一举。同时，这个模型对于赎回压制、回售保护也无法给出很好的刻画。而该模型的 “ 低不就 ” 就显得更加明显，相比 BS 公式其运行速度不在同一量级。总之，这些特性使得二叉树模型在 A 股转债领域的实际应用价值降低。

但改一改能不能更有用？ 能。如果结合经验考虑，转债在转股期内，平价如果达到 150 （震荡市或者熊市可能 140 ）基本都会触发赎回条款，回售期内平价低于 50 也会触及回售条款。因此，如果把路径依赖的赎回、回售条款简化成平价突破 150 或跌破 50 触发的，二叉树也将具备一定处理附加条款的能力，成为穷人版的 Monte-Carlo 模拟模型。但由于缺乏严谨性，我们不在此展示实现方法（实际改一改 _calcOptionTree 的最后几行就可以）。

Monte-Carlo 算法

模拟法是最精巧也最慢的定价模型。 经典的计算过程是： 1 ）模拟股价； 2 ）计算到期日的转债价值； 3 ）从到期日开始逆推转债在其他日期的价值，此时需要额外的两个工作，一是用最小二乘法预估继续持有转债的价值（从而与直接转股进行对比，做出决策），二是看转债过去 N 日的路径，若触发赎回、回售条款，则进行相应处理； 4 ）将每一条模拟路径下的转债价值汇总，求均值。

但结合实战经验考虑，实际可以更加简单。 这个模型最耗时耗力的步骤也在第三步，尤其是用最小二乘法预估继续持有转债的价值这里。但和二叉树模型一样，投资者知道，一般不触发赎回条款，投资者不会也没有必要转股。因此我们完全可以跳过这一步骤，只需要考虑该路径是否会提前触发赎回条款、回售条款，从而做相应的处理即可。

实现方法上，我们仍先展示最终的函数，再拆解中间的过程：

整个过程看起来和二叉树很像。其中，模拟股价这里，利用 numpy 的 cumprod （累积相乘）效果会比用循环来逐日生成效果要好得多，没理由不用。这个模拟函数如下：

模拟好股价之后，开始逐条路径分析。实际上就是分析其会不会提前触发附加条款（这里只处理回售和赎回条款，对下修的处理需要进一步做假设，可以以后再讨论）。于是需要两个内部函数 _processRecall 和 _processResell 来分别判断赎回和回售条款各自的触发情况。所返回的 isBeRecall, thisRowEndTime, thisRowValue 三个变量，分别是是否触发（一个 0 或 1 的变量）、触发时间和触发后转债在该时间获得的现金流（对于赎回来说是假设立即转股，这个现金流就是平价，对于回售来说就是回售价）。这两个函数如下：

但为避免内部函数过长，提高维护和阅读难度，我们又做了三个小的辅助函数，分别是 _sliceInMC ， _isResell 以及 _isRecall 。其中 _sliceInMC 是将路径切片，拿出来分析条款的触发情况，只有一行（其实也没有必要写），但避免了丑陋的切片操作暴露在上级函数中。 _isRecall ， _isResell 是根据条款分析赎回、回售是否触发，是则返回 1 ，否则返回 0 。

最后，对于每条路径的现金流，除了条款触发（或者到期）之外，票息也需要考虑。但由于提前触发附加条款的可能性存在，票息、本金是否支付也将有变化。这里，我们还需要一个内部辅助函数，来计算每一条路径下现金流的现值，如下所示。至此 Monte-Carlo 模拟法已经完成。

Monte-Carlo 模拟法应用的场合？ 由于计算慢，对计算机消耗大，一般太讲究实效性的场合不会用。但其最大的优点在于能够考虑赎回条款对转债估值的压制，以及回售条款的保护性。它让投资者可能更加合理地考虑某些假设情况下转债的走势（跟涨能力、保护性），因此我们常用它来给转债做情景分析。

写在最后： 无论什么模型，自身的局限性自不必说。但仅就其有用的方面来讲，上述内容还远未完成（虽然篇幅已经不小）。不仅包括隐含波动率的计算、其他敏感系数的计算、情景分析的应用这些明面上的内容。实际算法还有很大的优化空间，但为表述清晰我们也不在此深入讨论。此外，我们在实际分析市场的过程中，还会考虑转债稀释以及转股给市场带来的冲击，不同品种下修倾向的假设，限于可以留在未来讨论。

报告原文请见 2018 年 11 月 22 日中金固定收益研究发表的研究报告 《中金公司*杨冰，姬江帆：专题研究*说没用也有点用的转债定价：顺便聊聊转债研究员的Python技巧 》 。

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