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问题描述

迭代法也称辗转法，是一种逐次逼近方法，在使用迭代法解方程组时，其系数矩阵在计算过程中始终不变。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值。

迭代法具有循环的计算方法，方法简单，适宜解大型稀疏矩阵方程组，在用计算机计算时只需存储A的非零元素(或可按一定公式形成系数，这样A就不需要存储)。

（1）对于给定的方程组X =Bx+f，用式子逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代法,这里与B和k无关)

（2） 如果limx(k), x→∞存在(记作x* ),称此迭代法收敛，显然x就是方程组的解，否则称此迭代法发散。

解决方案

解法介绍

牛顿迭代法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)= 0逐步归结-为某种线性方程来求解.设已知方程f(x)=0有近似根X (假定f’(xk)≠ 0),将函数f(x)在点xk展开，有：

f(x)≈f(xk)+f’(xk)(x-xk)于是方程f(x)=0可近似地表示为f(x)+ f’(xk)(x-xk)=0(是个线性方程)，记其根为xk+1,则xk+1的计算公式为xk+1=xk-f(xk) ➗ f’(xk)（k=0,1,2……）

例题讲解

例：用牛顿迭代法三次求方程f(x)=x5-x2+x-30=0,在区间[1,3]中的近似值请详细解答

解：

f(1)=-29

f(3)=207 所以[1,3]之间一定有零点。而且明显更靠近x=3。

f (2) =-2

f(2. 5)=63.9

f(2.2)=19.2

f(2.1)=8.53

f(2. 01)=0.78

f(2 001)=0.08

所以f(2. 0001)=0.008应该满足要求了。所以x=2.0001

例：使用牛顿迭代法求方程的解，X3-2x-5=0，在区间[2，3]上的根。

END

实习编辑 | 王楠岚

责 编 | 刘 连

where2go 团队

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