1.2. 共空间模式

CSP 是解码 MI-BCI 中 EEG 信号特征的常用算法。CSP 通过寻找一个合适的投影矩阵 w ，使得一类的投影信号方差最大化而另一类的方差被最小化 ^{[ 12 ]} 。其目标函数可表示为如式（3）所示，其中， C _i 为第 i 类的空间协方差矩阵。 最大的 d 个特征值、最小的 d 个特征值对应的特征向量构成。

传统 CSP 未考虑 EEG 信号时间局部结构，对潜在离群值和人工伪迹有很高的敏感度 ^{[ 13 ]} 。此外，在使用小样本量的训练集时易出现过拟合 ^{[ 14 ]} 。为此，Hatamikia 等 ^{[ 13 ]} 通过相关性度量构建权值矩阵，提出对噪声敏感度低的局部时间相关共空间模式算法；Lotte 等 ^{[ 14 ]} 提出了正则化 CSP 的两种理论框架，即：① 通过在协方差估计的水平上添加正则项，将原始协方差矩阵估计收缩到通用协方差矩阵，以抵消训练样本少导致的估计偏差；② 在目标函数上添加先验正则项，以指导优化过程获得良好的空间滤波器。

1.3. 线性判别分析

LDA 是一种常用于 ERP 特征解码中的监督学习算法，具有计算量低、分类效果良好等特点。LDA 将高维样本数据投影至低维空间，保证样本数据在该空间中有最大类间距离和最小类内距离，其目标函数可表示为如式（7）所示：

其中， S _b 为类间散度矩阵， S _w 为类内散度矩阵。通过求解 最大的 d 个特征值和对应的 d 个特征向量 ，得到投影矩阵 W 。

LDA 同样存在过拟合问题，为此研究者提出了逐步线性判别分析（stepwise LDA，SWLDA）、收缩线性判别分析（shrinkage LDA，SKLDA）等方法 ^{[ 15 ]} 。SWLDA 逐步向前将差异具有统计学意义的预测变量添加到模型中，再向后回归以消除最不重要的变量，直至模型包含预定数量的项，或没有附加项满足进入/删除标准。SKLDA 通过收缩协方差估计缓解了由特征维度高于训练样本量造成的原样本协方差矩阵病态性的问题，有效增强了分类器的泛化能力。

2.2. 判别典型模式匹配

2018 年，天津大学神经工程团队提出 DCPM 算法，并将其用于基于极微弱 ERP（miniature ERP）的新型 BCI 系统设计中，首次实现 1 μV 以下 miniature ERP 高效解码与应用 ^{[ 21 ]} 。

DCPM 算法包括以下三部分：

（1）构建判别空间模式，以消除共模噪声。基于费希尔判别准则，寻找可在映射后使得两类信号的类间散度最大、类内散度最小的 w ，如式（14）所示：

2.3. 黎曼几何分类器

EEG 信号处理中，一般在平滑约束下操作矩阵，故受约束的空间可理解为平滑弯曲的空间。常用的样本协方差矩阵所在对称正定矩阵空间便是一个黎曼流形。传统的 LDA、CSP、CCA 等方法均在欧几里得空间中使用样本协方差矩阵，而未考虑它们所属的对称正定矩阵空间的曲率，并不利于精准地建立模型 ^{[ 22 ]} 。而在黎曼几何中，黎曼距离具有求逆及同余不变性 ^{[ 23 ]} 。假设任意两个试次 EEG 信号 X ₁ 、 X ₂ 分别服从均值为 0，方差为∑ ₁ 、∑ ₂ 的多元正态分布，即 ，则上述性质可表示为如式（18）、（19）所示： ，为任意可逆矩阵，其中 C 为导联数。由该式可知，对 EEG 信号进行任何线性操作对黎曼距离没有影响，使得黎曼度量可绕过源分离等步骤直接应用协方差矩阵中的空间信息。

基于黎曼几何的算法具有较好的泛化能力和鲁棒性 ^{[ 23 - 25 ]} 。目前，基于黎曼几何进行 BCI 解码 EEG 信号特征的方法可分为两类：① 综合黎曼空间、欧几里得空间优势，将黎曼流形通过对数映射等方法映射至其切空间。该切空间为欧几里得空间，可直接使用 LDA、CSP、CCA 等方法 ^{[ 26 ]} 。值得注意的是，在该欧几里得切空间中仍需考虑特征选择以降低特征维度从而避免维数灾难。② 在黎曼流形中，基于黎曼距离的不变性，利用协方差矩阵中空间信息直接进行分类。黎曼均值最小距离（minimum distance to riemannian mean，MDRM）是该类算法的典型代表。MDRM主要计算了未知类别EEG信号 到各类训练数据的平均协方差矩阵的估计 ^{[ 25 ]} 。

目前，研究者已将黎曼几何应用于事件相关去同步（event-related desynchronization，ERD）/事件相关同步现象（event-related synchronization，ERS）、ERP、SSVEP 特征解码中，且普遍认为其极具应用前景 ^{[ 27 ]} 。