什么是黎曼积分和勒贝格积分？两者区别是什么？

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为什么黎曼积分有定义，二者就一定相等？黎曼下和和勒贝格下和有什么区别与联系？通俗一点讲哦，各位大大

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分三个方面来讨论

一、就积分的定义而言：

给一个直观的定义，严格的定义要从测度讲起，感兴趣可以参考文末的专栏链接。

Lebesgue 积分是用横切的 (基于函数值来分割定义域）阶梯来逼近：

相比 Riemann 积分则是竖切的 (直接根据定义域里元素的值来分割积定义域) 来逼近：

还有一个图片中反映出来的细节：Lebesgue 积分是用小于等于函数值的一些列横切，然后求supremum来逼近 (也可以配合大于函数值的横切求infimum来夹逼)；Riemann 积分会求一个上极限跟一个下极限，积分存在需要上极限跟下极限相等。

一个显而易见的优势是 Riemann 可积函数都是 Lebesgue 可积函数，所以 Lebesgue 积分可以看作是 Riemann 积分的拓展；但是注意 这个虽然很明显，却不重要 ，或者可以说不是 Lebesgue 积分的精髓所在——比如 Henstock-Kurzweil 积分在这方面可以做得更好
Lebesgue 积分最重要的优势应该是它关于极限的性质，这些性质使得 Lebesgue 可积函数列逐点收敛的极限一般也是 Lebesgue 可积的 。所以很多 Lebesgue 可积函数相关的空间是完备的 (如 L^1 就是Banach Space/完备的)。而作为比较，Riemann 可积函数列逐点收敛的极限很多情况下是 Riemann 不可积的； 我们需要一致收敛的条件才能保证 Riemman 可积函数的极限可积 。一致收敛比起逐点收敛太强了，很难满足
再一个 Lebesgue 积分的优势就是它是基于测度来定义的，所以它能够被定义在更广义的空间上 (如概率空间）。而 Riemann 积分的定义需要一个"有序"的结构 (区间、区间上的分割等），这个使得它的实用性小很多，主要就是限制在了 \mathbb R^n 上

Riemann 可积的函数都是 Legesgue 可测且可积的，且Riemann 积分存在的 充要条件 是被积函数不连续点构成的集合是一个 Lebesgue 零测集，而当这个条件满足时，Riemann 积分跟 Lebesgue 积分结果一致。

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最近学习了一点勒贝格积分，在此记录一下理解。

蓝色：黎曼积分/类黎曼积分

红色：勒贝格积分

黎曼积分首先将一个函数的定义域分割成小区间，宽度为 \Delta x ，然后用这些区间的函数在这些区间上的值 f(x) 作为矩阵的高，然后将所有这些矩形的面积 f(x)·\Delta x 相加。这个积分是当矩形的宽度缩小到0时这个和的极限。

Lebesgue积分也是相似的，但是它涉及到切分一个函数的范围，而不是其域。可以说，勒贝格积分基本上是一个侧面的黎曼积分。

积分的直观含义是它给出了某个区域内函数的总量，它是求和的连续模拟。

Riemann和Lebesgue积分均以一定的极限值来计算曲线下的面积，该极限会填充越来越多的空间，最后求各极限面积做加和来作为积分的结果。

如果可以通过与该求和函数紧密匹配的矩形区域的限制，来找到该函数的积分部分，则该函数为Riemann可积。这是一系列接近它的阶跃函数，其中阶跃函数的每个部分都是该区间内某处函数的评估值，或区间最大值。

如果我们可以通过使用收敛到该求和函数的简单函数序列的极限，来找到函数的积分，则该函数是Lebesgue可积的。

此外，Riemann积分仅在变量间隔上定义，而Lebesgue积分在任何量度空间中定义，看起来定义的更宽泛一些，也就是说理论上如果 f(x) 是Riemann可积函数，则一定是Lebesgue 可积函数。

以上，谢谢⭐