如何理解：电磁波能量的时间平均值？

在电动力学中，用 能流密度 来描述电磁波能量的传播。能流密度就是单位时间穿过单位面积的能量，其定义式为

\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H},

也称为 玻印亭矢量 。

一个简单而典型的例子是真空中的 平面电磁波 ，即

\mathbf{E} = \mathbf{E_0} \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t), \\ \mathbf{H} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t) \mathbf{n}\times\mathbf{E_0},

其特点是： \mathbf{E} 和 \mathbf{H} 相互垂直及同相，且均与传播方向 \mathbf{n} 垂直。 平面电磁波的能流密度 为

\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0^2 \cos^2(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t) \mathbf{n}.

电磁波的频率很高，以可见光为例，其频率在 10^{14}\mathrm{Hz} 量级。人眼和现有的探测器远远跟不上这么高的频率，你去看太阳也好，日光灯也好，并不会感到它们发出的光会有强弱变化，而觉得是恒定不变的。这是因为人眼感受到的是光的 平均能流密度 ，此处的“平均”正是对时间取平均。这就是为什么物理上要取电磁波能量的时间平均值，平均值才是实际能观察到的量。

具体怎么对时间取平均呢？由于平面电磁波是简谐波，只需在一个周期之内取平均就可以了。

\begin{aligned} \bar{\mathbf{S}} &= \frac{1}{T} \int_0^T \mathbf{S}dt \\ &= \frac{1}{T} \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0^2 \mathbf{n} \int_0^T \cos^2{(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}dt \\ &= \frac{1}{T} \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0^2 \mathbf{n} \int_0^T \frac{1+\cos{(2\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - 2\omega t)}}{2} dt \\ &= \frac{1}{T} \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0^2 \mathbf{n} \left(\frac{T}{2}+0\right) \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0^2 \mathbf{n}. \end{aligned}

计算中用到了 \omega T = 2\pi 这个条件，使得第三行的cos项积分为0。这个平均能流密度也叫 波的强度 ，简称 波强 。如果具体到可见光，就可称为 光强 了。