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• 初步介绍
• 形状特征

初步介绍

在学习Gamma分布之前，有必要复习一下Poisson分布：泊松分布

Poisson分布指的是，单个事件在某一刻发生的概率。Gamma分布更进一步，指的是某个事件在某个时刻发生第 次的概率。

其中， 为形状参数， 为尺度参数，固定尺度参数 ，给定不同的 值，可得到不同型形状的 分布的概率曲线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import gamma
for k in [0.8, 1.5, 3.5]:
    xs = gamma(k, size=20000)
    plt.hist(xs, 200, range=(0,10), 
        alpha=0.5, label=f"k={k}")
plt.legend()
plt.show()

其分布如下图所示

形状特征

一般来说，当 时， 为单调递减函数，对应图中 时，概率密度逐渐下降的情况；当 时， 先上凸，然后下凸，由于上图画的是随机点的直方图，所以对凹凸性的展现并不明显。当 时， 在增函数区间，是先下凸然后上凸的。

特别地，当 时， 分布的概率密度变为

此为指数分布，有关指数分布，请看这里Pyhton威布尔分布

令 ， ，则其表达式变为

此即具有 个自由度的卡方分布，有关卡方分布请戳这里：Python卡方分布

尺度因子 可以调整分布曲线的胖瘦，需要注意的是，在 gamma 函数中，输入的尺度因子是 的倒数。接下来对 这三种情况进行仿真

ks = [0.8, 1.5, 3.5]
fig = plt.figure()
for i in range(3):
    ax = fig.add_subplot(1,3,i+1)
    ax.set_title(f"k={ks[i]}")
    for lam in [1/2, 1, 2]:
        xs = gamma(ks[i], lam, size=20000)
        ax.hist(xs, 200, range=(0,10), 
            alpha=0.5, label=f"lambda={1/lam}")
    plt.legend()
plt.show()

得到不同k值时的分布情况

可见， 越小，则分布越矮胖。

最后，测试一下 函数的期望与方差，根据其概率密度函数，可以求得其期望和方差分别为

接下来对其进行测试

k, lam = 1.5, 2
xs = gamma(k, 1/lam, size=20000)
print("理论期望", k/lam, "\t理论方差", k/lam**2)
print("实际期望", np.mean(xs), "\t实际方差", np.cov(xs))

得到输出

理论期望 0.75   理论方差 0.375
实际期望 0.7550140115027265     实际方差 0.3794021804397493