这是一个很有趣的问题，而且没有表面上看起来那么容易。

先说结论：

这个问题目前不存在解析解，可以通过数值求解的方式计算；或者如果采样的姿态较为接近，可以采用四元数求平均的方式近似计算。

我们先来看「平均」的定义：给定 n 个元素 \left\{ x_1, x_2, ..., x_n \right\} ，该空间内存在一点 \bar{x} ，使得该点到 n 个元素的距离之和最短。

计算旋转的平均值，也就是找到下式的最优解：

\bar{R}= \begin{equation} \mathop{\arg\min}_{R \in SO(3)} \ \ \sum_{i=1}^{n}{d(R, R_i)^2} \end{equation}

其中，两个 SO(3) 元素之间的距离定义如下：

d(R_i, R_j)=\frac{1}{\sqrt{2}}\|Log(R_i^TR_j)\|

所以，可以用数值求解的方式计算得到给定 n 个旋转的平均旋转。

但是，我们自然会想， 是否有解析解 ？

目前为止，另外三位答主的想法分别如下：

（1）直接用欧拉角表示旋转，然后直接用欧拉角的三个参数相加后平均；

（2）用四元数表示旋转，然后直接用四元数的四个参数相加后平均（也即 Averaging Quaternions 中的方法）；

（3）将所有旋转映射（Log）到其切空间（切空间是向量空间），在切空间做平均后，重新 Exp 到 SO(3) 空间。

于是，我把这几种思路都实现了，并且随机生成三组数据，将其与数值求解结果进行对比。

第一组数据是在 SO(3) 空间中均匀采样，其分布如下图所示：

分别采用四种方法计算的平均旋转如下：

为了更好地对比，我将四种结果展示在视频中：

第二组数据是在单位阵 SO3.Identity() 周围小范围内随机采样，其分布如下图所示：

分别采用四种方法计算的平均旋转如下：

为了更好地对比，我将四种结果展示在视频中：

第三组数据将第二组数据左乘一个随机旋转矩阵，其分布如下图所示：

分别采用四种方法计算的平均旋转如下：

为了更好地对比，我将四种结果展示在视频中：

从上面几个案例可以看出，前面所述三种计算方法都无法准确计算出平均旋转。但是， 如果给定的几个旋转相互之间距离较近时，第二种计算方法（四元数求平均）可以近似获得比较准确的结果 。