原标题：【分享】傅立叶_拉谱拉斯_Z 变换学习笔记

傅里叶、拉普拉斯变换与 Z 变换，今天我也来做下这三个变换笔记。无论是通信工程，电子信息工程、生物医学工程、物理、微电子、自动化、电气工程及自动化、计算机等等，这三个变换都必须要学习到，可以这么说，凡是理工科学生，如果没学会这三个变换，你的专业等于是白读了，不过我似乎说的夸张了些。

三个变换，本质上就是套用三个数学公式做了相应的积分变换，在实际工作中这些复杂的变换与计算通常是查表或者用类似 matlab 或者mathcad 之类的软件去做计算，本笔记主要介绍这三个变换的三个公式的推导，以及三个变换的关联性。关于三个变换原理或者应用方面的知识，不在阐释了，网络上已经有很多这方面的文章。

本笔记参考书籍《信号与系统》----- 郑君里 版本。

从数学上理解这些变换都属于积分变换,并有相应的关联性。其实只要知道傅里叶变换的公式，后面两个（拉普拉斯与 Z 变换）都可以通过傅里叶变换变化而来。首先来推导：第一个变换公式傅里叶变换，其次从傅立叶变换中引出拉普拉斯变换，最后 Z 变换是从抽样信号的拉氏变换中引出。

傅里叶变换：（频域分析）连续系统

介绍傅里叶变换前，先解释两个概念 “ 频谱分析” 和 “傅立叶级数” ，然后从傅里叶级数中引出傅里叶变换的概念。

频谱分析： 就是将时域的信号（信号可以是周期与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法称为频谱分析。其目的是把复杂的时域波形，经过 某种变换 分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。这 某种变换 可以是 傅里叶级数 ，也可以是 傅里叶变换 进行变换.这两者目的都一样，都是把时域信号变成频域以便于信号分析。

其实傅里叶级数只是属于傅里叶变换的一种特殊的表达形式。

那么什么是傅里叶级数？

▲ 傅立叶级数 ：

long long ago … 法国有位数学家叫傅里叶，他有了个新发现，任意 周期函数 （ 周期信号 ）可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这种用三角级数表示形式就是 傅里叶级数。 但三角级数表示的傅里叶级数有个缺陷就是求频谱系数比较麻烦，所以又想到了通过 欧拉公式 把三角级数变成了指数级数的表示形式，很明显这不仅仅在求谱系数上,在做积分上指数形式也更简单了 ， 那么用指数形式表示一个信号也是傅里叶级数。

傅里叶级数有两种表示形式：分别为 三角级数形式 和 指数级数形式 ， 这两种表示形式都可以称为 傅立叶级数。如公式（a）, ( e )。

( 前面说了对信号做频谱分析可以用傅里叶级数展开，也可以用傅里叶变换，但是通常我们对 周期信号 是用傅里叶级数展开，而非周期信号用傅里叶变换。)

看了是不是还有点迷糊？那我们就用数学公式来描述吧，这样也许更直观些。

假设有个 周期信号 f（t ） ， 周期为 T 1 , 角频率 为 ω 1 =2* π /T 1 ， 频率 为 f 1，要做频谱分析怎么办？

那就傅里叶数展开吧。

三角形式的傅里叶级数

由上可见，公式 a 左边 f（t） 是一个周期信号，而右边是一个三角函数的线性组合，或也可以称为三角级数表示方式，那么这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。

但公式 （a） 有个问题，就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数，这不利于信号能量的计算或图形表示，为了便于画图我们做了一些变换，用三角公式中的合角公式对公式 （a） 进行了转换，把同频率的项加以合并，于是得到了 余弦形式的傅里叶级数 或 正弦形式的傅里叶级数 ，如式 （b）,（c）

由上总结：

1. 一个周期信号可以分解成了直流分量、基波（ω1），和各次谐波（基波角频率整数倍 n*ω1） 的线性组合。

2. 周期信号频谱具有离散型，谐波性，收敛性。

到此三角形式的傅里叶级数已经介绍完，但是我们发现三角形式还存在一些问题，我们前面也有提到过，求谱系数不好求，做积分也不好做，怎么办？于是想到通过欧拉公式转换到指数形式的傅里叶级数。

指数形式的傅里叶级数

我们把公式（a）抄下来，

然后由欧拉公式得到

把公式（d1）（d2）代人公式（a）

由三角形式傅里叶级数公式（a）中正余弦分量幅度可知，见式（a2）（a3）， 得出 an 是 n 的偶函数，bn 是 n 的奇函数。

所以得出:

将式 （d4 ） （ d5 ） 代入 （ d3 ） 得：

得到 的指数形式的傅里叶级数

将正余弦分量,式（a2）（a3）代人（d4）可得到指数形式傅里叶级数的系数，如下式 （ e1 ） 。

其中， F （ nω 1 ） -- à可以简写成F（n）

傅里叶级数的系数:

到此傅里叶级数的两个公式我们已经求出

但是这两个公式都应用于周期信号的频谱分析，那么对非周期信号我们怎么做呢？于是傅里叶拿出了专门准对非周期信号频谱分析的公式，这个公式就是我们说的傅里叶变换，其实这个公式就是从傅里叶级数公式中演变过来，下面介绍怎么从傅里叶级数中变出这个傅里叶变换的公式。

傅里叶变换的引出

什么是 傅里叶变换 ？一句话，傅里叶变换就是把一个信号，（这个信号可以是周期与非周期信号）分解成无数的正弦波信号的相加的一种变换。（它属于一种积分变换）这些信号可能幅值，频率相位各不相同的信号。其实这个概念跟傅里叶级数是相似的，但是不同地方傅里叶变换还可以对非周期信号进行频谱分析,那么下面就开始推导这个公式。 既然是傅里叶级数演变过来，那么我们先把傅里叶级数指数形式公式拿下来，如下。

假设这个周期信号 的周期为 T 1 ,

我们说信号周期趋向 T 1 无穷大∞ 。

这个周期信号便变成了 非周期信号。

谱系数 F（nω 1 ） 趋向于0。

离散谱 变成连续谱 。

趋向于无穷大时， ω 1 趋向0，谱线间隔趋向于0。

所以再用 谱系数 F（nω 1 ） 表示频谱不合适了，为此引入了频谱密度系数。

为了获得频谱密度系数，我们把谱系数公式 （e2） ,两边同乘 T 1 , （等于除以 f ） 得到公式（e3）

然后公式右边 T1 被消掉了得到了公式 ( e4 ) 。

公式（e5）左边是频谱值 F（nω 1 ） 除以频率 f ，表示单位频带上的频谱值，这其实就是频谱密度了。

我们看公式 ( e6 ) 右半部分，当 T1 --→ ∞ ,

所以积分上下限分别改为 +∞ 和 -∞，（nω 1 ） -→ ω ，

所以（e6）右半部分变成了，

这样式（e6）,就变成了下面（e7）了。

考虑到在实际系统中遇到的总是因果信号，信号起始时刻为零，于是在 t<0 的时间范围内 f( t )=0 ,这样积分下限从零开始,于是式 ( e7 ) 变成

这个公式 ( e8 ) 就是傅里叶变换了，见式 ( e8 ) 就是有 f（t ） 求 F（ω）称为傅里叶变换，也叫傅里叶正变换。

关于傅里叶反变换有 F（s）求 f（t ） 这里就不详述了,公式如下.

拉普拉斯变换：（复频域分析）连续系统

做傅里叶变换有个条件，满足狄里赫利条件，要求信号 f（t ） 绝对可积，此条件限制了某些上升信号如 e^at ,无法求傅里叶变换，为了使这样更多类似信号存在变换，引入了一个衰减因子 e- σ t ,即在原信号 f（t ） 乘以 e- σ t ,这样绝对可积条件满足，就可以求出 e- σ t *f（t ） 的傅氏变换了，公式如下。

把式（f1）代入公式（F）得到下面公式 （F2 ）

式 （F2 ） 就是有原函数 f（t ） ,求象函数 F（s）的拉氏变换了,对拉氏逆变换也可以从傅氏逆变推出，这里不在描述。

公式 （F3 ） 则是有象函数 F（s ） 求 f（t ） 逆变换 。

到此拉谱拉氏变换公式求出，如式 （F2 ） 是单边的拉氏变换，双边拉氏变换只是把积分下限 0 改成 - ∞ 如上所述，拉氏变换是在傅氏变换基础上了引入衰减因子，它把 f（t ） 分解成无限多个变幅、振荡之和，并振幅随 e- σ t 变化，它把傅氏的频域分析延伸到了复频域分析，它可以说是傅氏的升级版本。它最明显好处是把微分方程变成代数方程求解，从而使计算简化。

在自动控制理论中对控制系统的分析和综合，都是建立在拉氏变换的基础上的，由此可见搞控制专业的这个拉氏变换是非常重要。

Z 变换：（Z 域分析）离散系统

在离散系统或数字控制系统中出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变换就提了出来。 Z 变换最明显优点是它把离散系统的数学模型----差分方程变成了简单的代数方程 ，这使求解变得简化，也便于写程序。

其实z变换就是借助抽样信号的拉氏变换引出。

首先抽样信号 xs（t ） 如式：

式中 x（t ） 为一个连续的因果信号， δT( t ） 实际上一个周期的冲激信号，因具有抽样性，所以两者相乘后的实际意义就是对 X( t ) 连续信号的采样，其中抽样间隔为 T 。

我们知道因果信号起始时刻为零，于是在 t<0 的时间范围内 f( t )=0 ,这样 ( z1 ) 积分下限改从零开始。

所以（z1）式变成了（z2）式，然后对（z2）取拉氏变换。

即对信号 xs( t ) 乘一个衰减因子 e-st ，然后再积分，这就是拉氏变换，如公式（z3）。

公式（z3）中， 为抽样值，δ( t - nt ) 是冲激信号.

我们把公式（z3）变换一下,就是将积分与求和的次序对调，于是得到了式（z4）,对冲激信号先拉氏变换。

注意式 ( z3 ) 先求和后拉氏变换与 ( z4 ) 先拉氏变换再求和结果是相等的。

我们再来看 z4 的积分部分

δt 积分等于1，-nt 表示时移 e -nst ，所以 1*（时移因子e -nst ）最终积分结果如（z5）

式（z5）就是对抽样信号的拉氏变换。

为了美观些或看起来简便些吧，令衰减因子 e -st =Z，令 T=1 ，并代入 ( z4 ) ,得到了式 （z6）

公式 ( Z6 ) 就是 Z 变换的公式了。

注意： 与拉氏变换一样, Z 变换也有单边 Z 变换与双边 Z 变换之分，同样双边Z变换,只是把 n下限有 0 改成 -∞

所以 公式 ( Z6 ) 为单边的 Z 变换 ，而因为我们通常用的都是单边 Z 变换所以这里只列出单边 Z 变换的公式。

到此傅里叶，拉普拉斯， Z 变换的三个公式已经全部求出。 返回搜狐，查看更多

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